Um líquido com coeficiente de expansão volumétrica
é despejado em um recipiente cilíndrico de vidro. O vidro possui um coeficiente de expansão linear
. O líquido junto com o recipiente é aquecido por uma variação de temperatura
. A massa do recipiente é desprezível.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Foi dado um recipiente cilíndrico de vidro (internamente com raio e área de base iniciais que chamaremos de
e ) contendo um líquido com altura inicial . - O coeficiente de expansão volumétrica do líquido é
. - O coeficiente de expansão linear do vidro (em qualquer direção linear) é
. - A temperatura do sistema aumenta em
. - A massa do recipiente é desprezível (ou seja, não precisamos nos preocupar com deslocamento de massa).
- Pergunta (interpretada de forma natural e típica para esse enunciado): determinar a variação relativa do nível do líquido (isto é,
, onde é a nova altura do líquido após o aquecimento), expressa em função de , e .
Passo 2
Conceitos fundamentais e fórmulas que vamos usar (bem explicadinhos):
- Definição de expansão linear: se um comprimento inicial
é aquecido , o novo comprimento vale
onde
é o coeficiente de expansão linear. Aqui cada dimensão linear do vidro (radial e axial) cresce com
.
- Definição de expansão volumétrica para o líquido: se um volume inicial
sofre aquecimento , o novo volume vale
onde
é o coeficiente de expansão volumétrica. No problema,
.
- Relação entre área e expansão linear: a área de uma seção (produto de duas dimensões lineares) se altera com aproximadamente o dobro do coeficiente linear. Ou seja, se uma dimensão radial cresce por fator
, a área da base do cilindro (proporcional a ) fica
Para variações pequenas de temperatura usamos só a parte linear, escrevendo de forma aproximada
. Vou mostrar também a forma exata a seguir (mas quase sempre em provas usa-se a aproximação primeira ordem).
Explicação intuitiva: o nível (altura) do líquido
é dado por volume dividido por área da base. Assim, o que altera
é a mudança do volume do líquido e a mudança da área interior do cilindro.
Passo 3
Escrevendo as quantidades iniciais e finais com símbolos claros:
- Volume inicial do líquido:
onde
é a área da base interna do cilindro e
é a altura inicial do líquido.
- Volume do líquido após aquecer
:
- Área da base do cilindro após aquecer
: como a expansão linear radial é ,
(esta expressão é a aproximação em primeira ordem em
; é a que usaremos).
- Nova altura do líquido
será o volume do líquido dividido pela nova área:
Passo 4
Simplificação e interpretação da expressão para
:
- Cancelando
obtemos a expressão exata (dentro da aproximação de manter só termos lineares na área):
- A variação relativa do nível é
Esta é uma forma exata (dentro das hipóteses de expansões homogêneas) e já responde a pergunta em termos de
,
e
.
Passo 5
Aproximação de primeira ordem (útil para provas e cálculos rápidos):
- Para
e usamos a expansão em série
(retendo só o termo linear). Assim
Multiplicando e mantendo apenas termos lineares em
obtemos
- Interpretação física simples: o nível sobe se o líquido cresce em volume mais rapidamente que a área do recipiente (
); cai se o contrário acontecer ( ). É uma resposta bem intuitiva.
Passo 6
Observações finais e dicas para prova (estou do seu lado — você consegue!):
- Use a forma exata
quando quiser precisão maior (ou quando
não for pequena).
- Na grande maioria das questões de prova, a aproximação linear
é suficiente e muito mais simples de usar.
- Lembre-se de que para sólidos isotrópicos vale aproximadamente
, mas aqui não precisamos disso porque só usamos para a área (duas direções lineares) — por isso apareceu na área.