Um líquido com coeficiente de expansão volumétrica \gamma_{\mathrm{L}} é despejado em um recipiente cilíndrico de vidro. O vidro possui um coeficiente de expansão linear \alpha_{\mathrm{G}}. O líquido junto com o recipiente é aquecido por uma variação de temperatura \Delta T. A massa do recipiente é desprezível.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Foi dado um recipiente cilíndrico de vidro (internamente com raio e área de base iniciais que chamaremos de r e A) contendo um líquido com altura inicial h.
  • O coeficiente de expansão volumétrica do líquido é \gamma_{\mathrm{L}}.
  • O coeficiente de expansão linear do vidro (em qualquer direção linear) é \alpha_{\mathrm{G}}.
  • A temperatura do sistema aumenta em \Delta T.
  • A massa do recipiente é desprezível (ou seja, não precisamos nos preocupar com deslocamento de massa).
  • Pergunta (interpretada de forma natural e típica para esse enunciado): determinar a variação relativa do nível do líquido (isto é, \dfrac{h'-h}{h}, onde h' é a nova altura do líquido após o aquecimento), expressa em função de \gamma_{\mathrm{L}}, \alpha_{\mathrm{G}} e \Delta T.

Passo 2

Conceitos fundamentais e fórmulas que vamos usar (bem explicadinhos):
  • Definição de expansão linear: se um comprimento inicial L é aquecido \Delta T, o novo comprimento vale
L' = L\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr),
onde \alpha é o coeficiente de expansão linear. Aqui cada dimensão linear do vidro (radial e axial) cresce com \alpha_{\mathrm{G}}.
  • Definição de expansão volumétrica para o líquido: se um volume inicial V sofre aquecimento \Delta T, o novo volume vale
V' = V\bigl(1+\gamma\,\Delta T\bigr),
onde \gamma é o coeficiente de expansão volumétrica. No problema, \gamma=\gamma_{\mathrm{L}}.
  • Relação entre área e expansão linear: a área de uma seção (produto de duas dimensões lineares) se altera com aproximadamente o dobro do coeficiente linear. Ou seja, se uma dimensão radial cresce por fator (1+\alpha_{\mathrm{G}}\Delta T), a área da base do cilindro (proporcional a r^2) fica
A' = A\bigl(1+2\alpha_{\mathrm{G}}\Delta T + \text{termos de ordem }(\Delta T)^2\bigr).
Para variações pequenas de temperatura usamos só a parte linear, escrevendo de forma aproximada A'\approx A(1+2\alpha_{\mathrm{G}}\Delta T). Vou mostrar também a forma exata a seguir (mas quase sempre em provas usa-se a aproximação primeira ordem).
Explicação intuitiva: o nível (altura) do líquido h é dado por volume dividido por área da base. Assim, o que altera h é a mudança do volume do líquido e a mudança da área interior do cilindro.

Passo 3

Escrevendo as quantidades iniciais e finais com símbolos claros:
  • Volume inicial do líquido:
V = A\,h,
onde A é a área da base interna do cilindro e h é a altura inicial do líquido.
  • Volume do líquido após aquecer \Delta T:
V' = V\bigl(1+\gamma_{\mathrm{L}}\Delta T\bigr) = A\,h\bigl(1+\gamma_{\mathrm{L}}\Delta T\bigr).
  • Área da base do cilindro após aquecer \Delta T: como a expansão linear radial é \alpha_{\mathrm{G}},
A' = A\bigl(1+2\alpha_{\mathrm{G}}\Delta T\bigr)
(esta expressão é a aproximação em primeira ordem em \Delta T; é a que usaremos).
  • Nova altura do líquido h' será o volume do líquido dividido pela nova área:
h'=\frac{V'}{A'}=\frac{A\,h\bigl(1+\gamma_{\mathrm{L}}\Delta T\bigr)}{A\bigl(1+2\alpha_{\mathrm{G}}\Delta T\bigr)}.

Passo 4

Simplificação e interpretação da expressão para h':
  • Cancelando A obtemos a expressão exata (dentro da aproximação de manter só termos lineares na área):
h'=\;h\;\frac{1+\gamma_{\mathrm{L}}\Delta T}{1+2\alpha_{\mathrm{G}}\Delta T}.
  • A variação relativa do nível é
\frac{h'-h}{h}=\frac{1+\gamma_{\mathrm{L}}\Delta T}{1+2\alpha_{\mathrm{G}}\Delta T}-1.
Esta é uma forma exata (dentro das hipóteses de expansões homogêneas) e já responde a pergunta em termos de \gamma_{\mathrm{L}}, \alpha_{\mathrm{G}} e \Delta T.

Passo 5

Aproximação de primeira ordem (útil para provas e cálculos rápidos):
  • Para |2\alpha_{\mathrm{G}}\Delta T|\ll 1 e |\gamma_{\mathrm{L}}\Delta T|\ll 1 usamos a expansão em série
\frac{1}{1+2\alpha_{\mathrm{G}}\Delta T}\approx 1-2\alpha_{\mathrm{G}}\Delta T
(retendo só o termo linear). Assim
\frac{h'-h}{h}\approx \bigl(1+\gamma_{\mathrm{L}}\Delta T\bigr)\bigl(1-2\alpha_{\mathrm{G}}\Delta T\bigr)-1.
Multiplicando e mantendo apenas termos lineares em \Delta T obtemos
\frac{h'-h}{h}\approx \gamma_{\mathrm{L}}\Delta T - 2\alpha_{\mathrm{G}}\Delta T = \bigl(\gamma_{\mathrm{L}}-2\alpha_{\mathrm{G}}\bigr)\Delta T.
  • Interpretação física simples: o nível sobe se o líquido cresce em volume mais rapidamente que a área do recipiente ( \gamma_{\mathrm{L}}>2\alpha_{\mathrm{G}}); cai se o contrário acontecer ( \gamma_{\mathrm{L}}<2\alpha_{\mathrm{G}}). É uma resposta bem intuitiva.

Passo 6

Observações finais e dicas para prova (estou do seu lado — você consegue!):
  • Use a forma exata
\frac{h'-h}{h}=\frac{1+\gamma_{\mathrm{L}}\Delta T}{1+2\alpha_{\mathrm{G}}\Delta T}-1
quando quiser precisão maior (ou quando \Delta T não for pequena).
  • Na grande maioria das questões de prova, a aproximação linear
\frac{h'-h}{h}\approx\bigl(\gamma_{\mathrm{L}}-2\alpha_{\mathrm{G}}\bigr)\Delta T
é suficiente e muito mais simples de usar.
  • Lembre-se de que para sólidos isotrópicos vale aproximadamente \gamma_{\text{sólido}}\approx 3\alphaó, mas aqui não precisamos disso porque só usamos \alpha_{\mathrm{G}} para a área (duas direções lineares) — por isso apareceu 2\alpha_{\mathrm{G}} na área.

Resposta

\frac{h'-h}{h}=\frac{1+\gamma_{\mathrm{L}}\Delta T}{1+2\alpha_{\mathrm{G}}\Delta T}-1
\text{(aprox.)}\qquad \frac{h'-h}{h}\approx\bigl(\gamma_{\mathrm{L}}-2\alpha_{\mathrm{G}}\bigr)\Delta T

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