Ex-06 Certa região do espaço, o potencial elétrico é dado pela relação V(x, y)=A \cdot \cos \left(3 x^{2}+4 y^{2}\right), com A=5.0 \mathrm{V} / \mathrm{m}^{3}. Calcule o módulo do campo elétrico no ponto, desta região, de coordenadas x=1.0 \mathrm{~m}, y=2.0 \mathrm{~m} e z=0.

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico
V(x,y) = A \cos\bigl(3x^2 + 4y^2\bigr),
com A = 5{,}0\\ \mathrm{V/m^3}, e pede o módulo do campo elétrico \mathbf{E} no ponto (x,y,z)=(1{,}0,2{,}0,0).
Conteúdo principal: relação entre potencial e campo elétrico, \mathbf{E} = -\nabla V, e uso da regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Lembrando que
\mathbf{E} = -\nabla V = \bigl(-\tfrac{\partial V}{\partial x},\,-\tfrac{\partial V}{\partial y},\,-\tfrac{\partial V}{\partial z}\bigr),
e como V não depende de z, temos \partial V/\partial z = 0 e portanto E_z = 0.

Passo 3

Usando a regra da cadeia, para u(x,y)=3x^2+4y^2 temos
\tfrac{\partial V}{\partial x} = A\bigl(-\sin u\bigr)\,\tfrac{\partial u}{\partial x} = -A\sin\bigl(3x^2+4y^2\bigr)\cdot(6x) = -6Ax\,\sin\bigl(3x^2+4y^2\bigr),
\tfrac{\partial V}{\partial y} = -A\sin\bigl(3x^2+4y^2\bigr)\cdot(8y) = -8Ay\,\sin\bigl(3x^2+4y^2\bigr).
Então
E_x = -\tfrac{\partial V}{\partial x} = 6A x\,\sin\bigl(3x^2+4y^2\bigr), \quad E_y = -\tfrac{\partial V}{\partial y} = 8A y\,\sin\bigl(3x^2+4y^2\bigr).

Passo 4

No ponto (x,y)=(1{,}0,2{,}0), o argumento do seno é
3(1{,}0)^2 + 4(2{,}0)^2 = 3 + 16 = 19\quad\text{(radianos)},
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E_x = 6\cdot5{,}0\cdot1{,}0\;\sin(19) = 30\,\sin(19), \quad E_y = 8\cdot5{,}0\cdot2{,}0\;\sin(19) = 80\,\sin(19).

Passo 5

O módulo é
\bigl|\mathbf{E}\bigr| = \sqrt{E_x^2 + E_y^2} = \bigl|\sin(19)\bigr|\sqrt{30^2 + 80^2} = \bigl|\sin(19)\bigr|\sqrt{900 + 6400} = \bigl|\sin(19)\bigr|\sqrt{7300}.
Numericamente, \sin(19)\approx0{,}1499 e \sqrt{7300}\approx85{,}44, então
\bigl|\mathbf{E}\bigr| \approx 0{,}1499 \times 85{,}44 \approx 12{,}8\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

O módulo do campo elétrico no ponto dado é aproximadamente 12{,}8\\ \mathrm{V/m}.

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