Ex-06 Certa região do espaço, o potencial elétrico é dado pela relação V(x, y)=A \cdot \cos \left(3 x^{2}+4 y^{2}\right), com A em \mathrm{V} / \mathrm{m}^{3}. Calcule o módulo do campo elétrico no ponto, desta região, de coordenadas x=1.0 \mathrm{~m}, y=2.0 \mathrm{~m}.

Passo 1

O potencial é dado por
V(x,y)=A\cos\bigl(3x^2+4y^2\bigr),
e queremos o módulo do campo elétrico em (x,y)=(1,2).
Conteúdo: relacionamento entre potencial e campo elétrico, que é dada por
\mathbf{E}=-\nabla V,
isto é, precisamos calcular as derivadas parciais de V e depois o módulo do vetor resultante.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de V.
Seja u(x,y)=3x^2+4y^2. Então
\frac{\partial V}{\partial x} = A\,\frac{d}{dx}\bigl[\cos u\bigr] = A\bigl[-\sin u\bigr]\frac{\partial u}{\partial x} = -A\sin\bigl(u\bigr)\cdot(6x) = -6A\,x\sin\bigl(3x^2+4y^2\bigr).
Analogamente,
\frac{\partial V}{\partial y} = -A\sin\bigl(3x^2+4y^2\bigr)\cdot(8y) = -8A\,y\sin\bigl(3x^2+4y^2\bigr).

Passo 3

O campo elétrico é
\mathbf{E} =-\nabla V =\Bigl(-\frac{\partial V}{\partial x},\,-\frac{\partial V}{\partial y}\Bigr) =\bigl(6A\,x\sin(3x^2+4y^2),\,8A\,y\sin(3x^2+4y^2)\bigr).

Passo 4

O módulo de \mathbf{E} vale
\|\mathbf{E}\| =\sqrt{\bigl(6A\,x\sin U\bigr)^2+\bigl(8A\,y\sin U\bigr)^2} =\lvert A\sin U\rvert\sqrt{36x^2+64y^2},
onde U=3x^2+4y^2.

Passo 5

Em (x,y)=(1,2) temos
U=3\cdot1^2+4\cdot2^2=3+16=19,
e
36x^2+64y^2=36\cdot1^2+64\cdot2^2=36+256=292.
Logo
\|\mathbf{E}\| =\lvert A\sin(19)\rvert\sqrt{292} =2\sqrt{73}\,\lvert A\sin(19)\rvert \approx2,56\,\lvert A\rvert \quad\bigl[\mathrm{V}/\mathrm{m}\bigr].

Resposta

\|\mathbf{E}\| =2\sqrt{73}\,\bigl\lvert A\sin(19)\bigr\rvert \approx2{,}56\,\lvert A\rvert\;(\mathrm{V/m}).

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