Dado o potencial gravitacional V(x, y, z)=x^{2} y z^{2}+2 x y^{3} z, calcule as componentes do campo gravitacional correspondente.

Passo 1

O enunciado dá o potencial gravitacional
V(x,y,z)=x^{2}y\,z^{2}+2x\,y^{3}z
e pede o campo gravitacional \vec{g}. Em mecânica clássica, o campo gravitacional é o negativo do gradiente do potencial, ou seja,
\vec{g}=-\nabla V.

Passo 2

Escrevendo a definição de gradiente em componentes cartesianas, temos
\nabla V=\left(\frac{\partial V}{\partial x},\,\frac{\partial V}{\partial y},\,\frac{\partial V}{\partial z}\right).
Logo, basta calcular cada derivada parcial de V e aplicar o sinal negativo.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial V}{\partial x}:
\frac{\partial }{\partial x}\bigl(x^{2}y\,z^{2}\bigr) =2x\,y\,z^{2}, \quad \frac{\partial }{\partial x}\bigl(2x\,y^{3}z\bigr) =2\,y^{3}z.
Somando,
\frac{\partial V}{\partial x} =2x\,y\,z^{2}+2\,y^{3}z.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial V}{\partial y}:
\frac{\partial }{\partial y}\bigl(x^{2}y\,z^{2}\bigr) =x^{2}z^{2}, \quad \frac{\partial }{\partial y}\bigl(2x\,y^{3}z\bigr) =6x\,y^{2}z.
Logo,
\frac{\partial V}{\partial y} =x^{2}z^{2}+6x\,y^{2}z.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial V}{\partial z}:
\frac{\partial }{\partial z}\bigl(x^{2}y\,z^{2}\bigr) =2x^{2}y\,z, \quad \frac{\partial }{\partial z}\bigl(2x\,y^{3}z\bigr) =2x\,y^{3}.
Assim,
\frac{\partial V}{\partial z} =2x^{2}y\,z+2x\,y^{3}.

Passo 6

Aplicando o sinal negativo a cada componente do gradiente, obtemos
\vec{g} =-\Bigl(\frac{\partial V}{\partial x},\,\frac{\partial V}{\partial y},\,\frac{\partial V}{\partial z}\Bigr) =-\bigl(2x\,y\,z^{2}+2y^{3}z,\;x^{2}z^{2}+6x\,y^{2}z,\;2x^{2}y\,z+2x\,y^{3}\bigr).

Resposta

g_x=-\bigl(2x\,y\,z^{2}+2y^{3}z\bigr),\quad g_y=-\bigl(x^{2}z^{2}+6x\,y^{2}z\bigr),\quad g_z=-\bigl(2x^{2}y\,z+2x\,y^{3}\bigr).

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