Dado o espaço vetorial V com o produto interno canônico. Determine o complemento ortogonal dos seguintes subespaços vetoriais:
(a) V=P2(R) e W=>=r1-x^2, 2 x+x^2
(b) V=M(2,2) e W=[lla & b c & d] in M(2,2) rvert, 2 a+b=c, d=0

Passo 1

O enunciado pede o complemento ortogonal em dois espaços com o produto interno canônico:
(a) em , onde representamos cada polinômio pelo vetor de coeficientes e
(b) em , com
e subespaço

Passo 2

Caso (a): seja p(x)=a+bx+cx^2. Para p estar em W^perp precisamos
lang<= p,,1-x^2rang<= = 0 e lang<= p,,2x+x^2rang<= = 0

Passo 3

Calculemos cada produto interno:
lang<= p,,1-x^2rang<= = a cdot 1 + bcdot 0 + ccdot(-1) = a - c = 0,
lang<= p,,2x+x^2rang<= = acdot 0 + bcdot 2 + ccdot1 = 2b + c = 0

Passo 4

Resolvendo
a - c = 0;Rightarrow;a=c, 2b + c = 0;Rightarrow;b=-tfracc2
Logo
p(x)=cl(1 - tfracx2 + x^2r),
e
W^perp=spanl,1 - tfracx2 + x^2r

Passo 5

Caso (b): seja . Para é preciso
para todo
com .

Passo 6

Parametrize W por a=alpha, b=beta, c=2alpha+beta, d=0:
M ;=;alpha1&02&0 ;+;beta0&11&0

Passo 7

O produto interno é
lang<= X,Mrang<= = x,a + y,b + z,c + wcdot0 = alpha,(x+2z);+;beta,(y+z)
Para anular isso para todo alpha,beta exigimos
x + 2z = 0, y + z = 0

Passo 8

Daí x=-2z, y=-z e w livre. Tomando parâmetros z e w,
X = z-2&-11&0 + w0&00&1

Passo 9

Portanto uma base de W^perp é
l-2&-11&0,; 0&00&1r

Resposta

(a) W^perp=spanl,1 - tfracx2 + x^2r
(b) W^perp=spanl-2&-11&0,;0&00&1r

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