06.No desenvolvimento de (2 x^2+1x^9)^20 determinar:
a) o termo central;
b) o coeficiente do termo em x^18, se existir, e o termo simétrico.
c) Se existem termos em x^8, x^6, x^-5.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a expressão (2 x^2+1x^9)^20 e precisa resolver três partes:
a) Encontrar o termo central na expansão.
b) Descobrir o coeficiente do termo em x^18, se ele existir, e o termo que é simétrico a ele.
c) Verificar se existem termos com x^8, x^6 e x^-5.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Binômio de Newton, que nos ajuda a expandir expressões do tipo (a + b)^n.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como o Teorema do Binômio funciona. Quando expandimos (a + b)^n, qualquer termo da expansão é dado por:
Termo k = binomnk cdot a^n-k cdot b^k
onde binomnk é o coeficiente binomial, que calcula combinações de n elementos tomados k a k.
No nosso caso, a = 2x^2, b = 1x^9 e n = 20.

Passo 3

Parte a: Encontrar o termo central
Em uma expansão com n + 1 termos, o termo central ocorre quando k = n2 se n for par. Como n = 20, temos k = 10.
Então, o termo central é:
Termo central = binom2010 cdot (2x^2)^10 cdot (1x^9)^10
Simplificando as potências de x:
= binom2010 cdot 2^10 cdot x^20 cdot x^-90 = binom2010 cdot 2^10 cdot x^-70

Passo 4

Parte b: Coeficiente do termo em x^18 e termo simétrico
Queremos encontrar k tal que o expoente de x seja 18:
2(20 - k) - 9k = 18
Simplificando:
40 - 2k - 9k = 18 40 - 11k = 18 -11k = -22 k = 2
Então, o coeficiente do termo em x^18 é:
binom202 cdot (2)^18 cdot (1x^9)^2 = binom202 cdot 2^18 cdot x^-18
Como esse é o termo com x^18, o termo simétrico será aquele que está na mesma posição em relação ao centro, ou seja, k' = 20 - 2 = 18. Então, o termo simétrico é:
binom2018 cdot (2x^2)^18 cdot (1x^9)^2 = binom2018 cdot 2^18 cdot x^36 cdot x^-18 = binom2018 cdot 2^18 cdot x^18

Passo 5

Parte c: Verificar a existência de termos em x^8, x^6 e x^-5
Para cada expoente desejado, resolvemos a equação:
2(20 - k) - 9k = expoente
Vamos fazer para cada caso:
  1. Para x^8:
40 - 2k - 9k = 8 40 - 11k = 8 -11k = -32 k = 3211
Como k não é inteiro, não existe termo com x^8.
  1. Para x^6:
40 - 11k = 6 -11k = -34 k = 3411
Novamente, k não é inteiro, então não existe termo com x^6.
  1. Para x^-5:
40 - 11k = -5 -11k = -45 k = 4511
Mais uma vez, k não é inteiro, portanto não existe termo com x^-5.

Resposta

a) O termo central é binom2010 cdot 2^10 cdot x^-70.
b) O coeficiente do termo em x^18 é binom202 cdot 2^18 e o termo simétrico é binom2018 cdot 2^18 cdot x^18.
c) Não existem termos em x^8, x^6 e x^-5.

Exercícios relacionados