06.No desenvolvimento de
determinar:
a) o termo central;
b) o coeficiente do termo em
, se existir, e o termo simétrico.
c) Se existem termos em
.
a) o termo central;
b) o coeficiente do termo em
c) Se existem termos em
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a expressão
e precisa resolver três partes:
a) Encontrar o termo central na expansão.
b) Descobrir o coeficiente do termo em
, se ele existir, e o termo que é simétrico a ele.
c) Verificar se existem termos com
,
e
.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Binômio de Newton, que nos ajuda a expandir expressões do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como o Teorema do Binômio funciona. Quando expandimos
, qualquer termo da expansão é dado por:
onde
é o coeficiente binomial, que calcula combinações de n elementos tomados k a k.
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Parte a: Encontrar o termo central
Em uma expansão com
termos, o termo central ocorre quando
se
for par. Como
, temos
.
Então, o termo central é:
Simplificando as potências de
:
Passo 4
Parte b: Coeficiente do termo em
e termo simétrico
Queremos encontrar
tal que o expoente de
seja 18:
Simplificando:
Então, o coeficiente do termo em
é:
Como esse é o termo com
, o termo simétrico será aquele que está na mesma posição em relação ao centro, ou seja,
. Então, o termo simétrico é:
Passo 5
Parte c: Verificar a existência de termos em
,
e
Para cada expoente desejado, resolvemos a equação:
Vamos fazer para cada caso:
- Para
:
Como
não é inteiro, não existe termo com
.
- Para
:
Novamente,
não é inteiro, então não existe termo com
.
- Para
:
Mais uma vez,
não é inteiro, portanto não existe termo com
.
Resposta
a) O termo central é
.
b) O coeficiente do termo em
é
e o termo simétrico é
.
c) Não existem termos em
,
e
.