Dados
e
, extremidades da diagonal de um quadrado, calcule as coordenadas dos vértices
e
, sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria! A gente tem dois pontos,
e
, que são as extremidades de uma diagonal de um quadrado. A missão é encontrar as coordenadas dos outros dois vértices,
e
, sabendo que a coordenada
de
é maior que a de
. Para isso, vamos usar propriedades dos quadrados e um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o ponto central da diagonal
. Como em um quadrado as diagonais se cortam ao meio, o ponto central vai ser o ponto médio entre
e
. A fórmula para o ponto médio entre
e
é:
Aplicando isso aos pontos
e
:
Então, o ponto médio
é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a direção da outra diagonal do quadrado. Sabemos que as diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si. Primeiro, vamos encontrar o vetor que representa a diagonal
.
O vetor
é dado por:
Para encontrar um vetor perpendicular a
, podemos trocar as coordenadas e trocar o sinal de uma delas. Então, um vetor perpendicular seria
ou
.
Passo 4
Como as diagonais têm o mesmo tamanho, vamos normalizar o vetor perpendicular para ter o mesmo comprimento que
. Primeiro, calculamos o comprimento de
:
Agora, queremos que o vetor perpendicular tenha o mesmo comprimento. Tomando
, o comprimento é:
Perfeito, já está com o comprimento certo!
Passo 5
Com o vetor perpendicular e o ponto médio
, podemos encontrar os pontos
e
adicionando e subtraindo o vetor
ao ponto
:
Resposta
As coordenadas dos vértices são
e
.