Dados A(1,2) e C(3, -4), extremidades da diagonal de um quadrado, calcule as coordenadas dos vértices B e D, sabendo que xB > xA.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria! A gente tem dois pontos, A(1,2) e C(3, -4) , que são as extremidades de uma diagonal de um quadrado. A missão é encontrar as coordenadas dos outros dois vértices, B e D , sabendo que a coordenada x de B é maior que a de A . Para isso, vamos usar propriedades dos quadrados e um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto central da diagonal AC . Como em um quadrado as diagonais se cortam ao meio, o ponto central vai ser o ponto médio entre A e C . A fórmula para o ponto médio entre (x1, y1) e (x2, y2) é:
M = ( x1 + x22, y1 + y22 )
Aplicando isso aos pontos A(1,2) e C(3, -4) :
M = ( 1 + 32, 2 + (-4)2 ) = ( 2, -1 )
Então, o ponto médio M é (2, -1) .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a direção da outra diagonal do quadrado. Sabemos que as diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si. Primeiro, vamos encontrar o vetor que representa a diagonal AC .
O vetor AC é dado por:
AC = (3 - 1, -4 - 2) = (2, -6)
Para encontrar um vetor perpendicular a AC , podemos trocar as coordenadas e trocar o sinal de uma delas. Então, um vetor perpendicular seria v = (6, 2) ou v = (-6, -2) .

Passo 4

Como as diagonais têm o mesmo tamanho, vamos normalizar o vetor perpendicular para ter o mesmo comprimento que AC . Primeiro, calculamos o comprimento de AC :
|AC| = raiz2^2 + (-6)^2 = raiz4 + 36 = raiz40 = 2raiz10
Agora, queremos que o vetor perpendicular tenha o mesmo comprimento. Tomando v = (6, 2) , o comprimento é:
|v| = raiz6^2 + 2^2 = raiz36 + 4 = raiz40 = 2raiz10
Perfeito, já está com o comprimento certo!

Passo 5

Com o vetor perpendicular e o ponto médio M(2, -1) , podemos encontrar os pontos B e D adicionando e subtraindo o vetor v ao ponto M :
B = M + v = (2 + 6, -1 + 2) = (8, 1)
D = M - v = (2 - 6, -1 - 2) = (-4, -3)

Resposta

As coordenadas dos vértices são B(8, 1) e D(-4, -3) .

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