Demonstrar:
binomn1+2binomn2+3binomn3+ldots+nbinomn0=n cdot 2^n-1, n >= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma soma que envolve coeficientes binomiais. O enunciado pede para mostrar que:
binomn1 + 2binomn2 + 3binomn3 + ldots + nbinomnn = n cdot 2^n-1, n >= 1
Então, estamos lidando com coeficientes binomiais e identidades combinatórias. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos coeficientes binomiais e algumas manhas de álgebra. Vamos passo a passo entender essa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um coeficiente binomial. O coeficiente binomial binomnk representa o número de maneiras de escolher k elementos dentre n disponíveis, sem se importar com a ordem. É dado por:
binomnk = n!k!(n-k)!
Onde n! é o fatorial de n.
Também, sabemos que a soma dos coeficientes binomiais para k de 0 a n é igual a 2^n:
sumk=0^n binomnk = 2^n

Passo 3

Agora, vamos olhar para a soma que queremos demonstrar:
sumk=1^n k binomnk
Queremos mostrar que isso é igual a n cdot 2^n-1. Para facilitar, vamos manipular a expressão k binomnk.

Passo 4

Existe uma propriedade útil dos coeficientes binomiais que diz:
k binomnk = n binomn-1k-1
Vamos entender isso: multiplicar o coeficiente binomial binomnk por k é o mesmo que multiplicar n pelo coeficiente binomial binomn-1k-1. Isso nos ajuda a simplificar a soma.

Passo 5

Aplicando essa propriedade na nossa soma, temos:
sumk=1^n k binomnk = sumk=1^n n binomn-1k-1 = n sumk=1^n binomn-1k-1
Aqui, tiramos o n da soma porque ele não depende de k.

Passo 6

Agora, vamos mudar o índice da soma para facilitar. Seja j = k - 1. Quando k = 1, j = 0, e quando k = n, j = n-1. Assim, nossa soma fica:
n sumj=0^n-1 binomn-1j

Passo 7

Lembrando da propriedade que mencionamos antes, a soma dos coeficientes binomiais de j = 0 a n-1 é 2^n-1:
sumj=0^n-1 binomn-1j = 2^n-1

Passo 8

Substituindo isso de volta na nossa expressão, temos:
n sumj=0^n-1 binomn-1j = n cdot 2^n-1

Resposta

Portanto,
binomn1 + 2binomn2 + 3binomn3 + ldots + nbinomnn = n cdot 2^n-1

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