Demonstrar:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma soma que envolve coeficientes binomiais. O enunciado pede para mostrar que:
Então, estamos lidando com coeficientes binomiais e identidades combinatórias. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos coeficientes binomiais e algumas manhas de álgebra. Vamos passo a passo entender essa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um coeficiente binomial. O coeficiente binomial
representa o número de maneiras de escolher
elementos dentre
disponíveis, sem se importar com a ordem. É dado por:
Onde
é o fatorial de
.
Também, sabemos que a soma dos coeficientes binomiais para
de 0 a
é igual a
:
Passo 3
Agora, vamos olhar para a soma que queremos demonstrar:
Queremos mostrar que isso é igual a
. Para facilitar, vamos manipular a expressão
.
Passo 4
Existe uma propriedade útil dos coeficientes binomiais que diz:
Vamos entender isso: multiplicar o coeficiente binomial
por
é o mesmo que multiplicar
pelo coeficiente binomial
. Isso nos ajuda a simplificar a soma.
Passo 5
Aplicando essa propriedade na nossa soma, temos:
Aqui, tiramos o
da soma porque ele não depende de
.
Passo 6
Agora, vamos mudar o índice da soma para facilitar. Seja
. Quando
,
, e quando
,
. Assim, nossa soma fica:
Passo 7
Lembrando da propriedade que mencionamos antes, a soma dos coeficientes binomiais de
a
é
:
Passo 8
Substituindo isso de volta na nossa expressão, temos:
Resposta
Portanto,