[2.0 Pontos] Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique:
a) ( ) O ponto x=0 é um ponto ordinário da equação diferencial \left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}=0. (0.5 Pts)
b) ( ) O ponto x=1 é um ponto singular irregular da equação diferencial x y^{\prime \prime}+(\sin x) y^{\prime}+(1-\cos x) y=0. (0.5 Pts)
c) ( ) O ponto x=0 é um ponto ordinário da equação de Legendre \left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+p(p+1) y=0. (0.5 Pts)
d) ( ) O polinômio de Legendre P_{2}(x)=\frac{1}{2}\left(3 x^{2}-1\right) é uma solução da equação diferencial \left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0. (0.5 Pts)

Passo 1

O enunciado pede:
– em (a), (b) e (c) classificar pontos de uma ED linear de segunda ordem como ordinários, singulares regulares ou singulares irregulares;
– em (d) verificar se o polinômio de Legendre P_{2}(x)=\tfrac12(3x^2-1) satisfaz uma dada ED.
Para isso, lembramos que uma ED
a_{2}(x)\,y'' + a_{1}(x)\,y' + a_{0}(x)\,y = 0
colocada em forma normal
y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = 0,
com
P(x)=\frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}, \quad Q(x)=\frac{a_{0}(x)}{a_{2}(x)},
tem ponto x_{0} ordinário se P e Q são analíticas em x_{0}. Caso contrário é ponto singular; se ainda assim (x-x_{0})P e (x-x_{0})^{2}Q forem analíticas em x_{0}, é singular regular, senão irregular.

Passo 2

(a) A ED é
(1 - x^{2})\,y'' \;-\; 2x\,y' \;=\; 0.
Em forma normal:
y'' \;-\;\frac{2x}{1 - x^{2}}\,y' \;+\; 0\cdot y = 0,
logo
P(x) = -\frac{2x}{1 - x^{2}}, \quad Q(x)=0.
Em x=0 temos 1-x^{2}=1\neq0, de modo que P e Q são analíticas em 0. Portanto x=0 é ponto ordinário. A afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

(b) A ED é
x\,y'' + (\sin x)\,y' + (1 - \cos x)\,y = 0.
Em forma normal:
y'' + \frac{\sin x}{x}\,y' + \frac{1 - \cos x}{x}\,y = 0.
Aqui o coeficiente de y'' é a_{2}(x)=x, e em x=1 vale a_{2}(1)=1\neq0. Logo x=1 não é ponto singular, mas ordinário. Assim a afirmação “ x=1 é ponto singular irregular” é falsa.

Passo 4

(c) A equação de Legendre genérica é
(1 - x^{2})\,y'' - 2x\,y' + p(p+1)\,y = 0.
Em forma normal:
y'' - \frac{2x}{1 - x^{2}}\,y' + \frac{p(p+1)}{1 - x^{2}}\,y = 0.
Em x=0 temos 1 - x^{2}=1\neq0, de modo que os coeficientes são analíticos em 0. Logo x=0 é ordinário e a afirmação (c) é verdadeira.

Passo 5

(d) Seja y=P_{2}(x)=\tfrac12(3x^{2}-1). Calculamos
y' = 3x, \quad y'' = 3.
Substituindo em
(1 - x^{2})\,y'' - 2x\,y' + 2\,y = 0
(1 - x^{2})\cdot 3 \;-\; 2x\cdot(3x) \;+\; 2\cdot\frac{3x^{2}-1}{2} = 3 - 3x^{2} - 6x^{2} + (3x^{2}-1) = (3 - 1) + (-3 - 6 + 3)x^{2} = 2 - 6x^{2},
que não é zero para todo x. Logo P_{2} não satisfaz essa ED e a afirmação (d) é falsa.

Resposta

a) V
b) F
c) V
d) F

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