[2.0 Pontos] Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique:
a) ( ) O ponto
é um ponto ordinário da equação diferencial
. (0.5 Pts)
b) ( ) O ponto
é um ponto singular irregular da equação diferencial
. (0.5 Pts)
c) ( ) O ponto
é um ponto ordinário da equação de Legendre
. (0.5 Pts)
d) ( ) O polinômio de Legendre
é uma solução da equação diferencial
. (0.5 Pts)
a) ( ) O ponto
b) ( ) O ponto
c) ( ) O ponto
d) ( ) O polinômio de Legendre
Passo 1
O enunciado pede:
– em (a), (b) e (c) classificar pontos de uma ED linear de segunda ordem como ordinários, singulares regulares ou singulares irregulares;
– em (d) verificar se o polinômio de Legendre satisfaz uma dada ED.
– em (a), (b) e (c) classificar pontos de uma ED linear de segunda ordem como ordinários, singulares regulares ou singulares irregulares;
– em (d) verificar se o polinômio de Legendre
Para isso, lembramos que uma ED
colocada em forma normal
com
tem ponto
ordinário se
e
são analíticas em
. Caso contrário é ponto singular; se ainda assim
e
forem analíticas em
, é singular regular, senão irregular.
Passo 2
(a) A ED é
Em forma normal:
logo
Em
temos
, de modo que
e
são analíticas em
. Portanto
é ponto ordinário. A afirmação (a) é verdadeira.
Passo 3
(b) A ED é
Em forma normal:
Aqui o coeficiente de
é
, e em
vale
. Logo
não é ponto singular, mas ordinário. Assim a afirmação “
é ponto singular irregular” é falsa.
Passo 4
(c) A equação de Legendre genérica é
Em forma normal:
Em
temos
, de modo que os coeficientes são analíticos em
. Logo
é ordinário e a afirmação (c) é verdadeira.
Passo 5
(d) Seja
. Calculamos
Substituindo em
dá
que não é zero para todo
. Logo
não satisfaz essa ED e a afirmação (d) é falsa.
Resposta
a) V
b) F
c) V
d) F
b) F
c) V
d) F