Ex-06: A partir das equações de Maxwell mostre que, no vácuo, tanto o campo magnético quanto o campo elétrico tem comportamento ondulatório, em seguida mostre que a velocidade da luz neste meio é aproximadamente 3 * 10^{8} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}.

Passo 1

O enunciado pede para a partir das equações de Maxwell no vácuo (isto é, sem cargas livres nem correntes, \rho=0, \mathbf{J}=0) mostrar que \mathbf{E} e \mathbf{B} satisfazem equações de onda (comportamento ondulatório) e então determinar a velocidade de propagação dessas ondas no vácuo.

Passo 2

As equações de Maxwell no vácuo são:
\nabla\cdot \mathbf{E} = 0,
\nabla\cdot \mathbf{B} = 0,
\nabla\times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},
\nabla\times \mathbf{B} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.

Passo 3

Para obter a equação de onda para \mathbf{E}, aplicamos o operador \nabla\times em \nabla\times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, ficando
\nabla\times\bigl(\nabla\times \mathbf{E}\bigr) = -\,\nabla\times\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = -\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times \mathbf{B}\bigr).

Passo 4

Usamos a identidade vetorial
\nabla\times\bigl(\nabla\times \mathbf{E}\bigr) = \nabla\bigl(\nabla\cdot \mathbf{E}\bigr) - \nabla^{2}\mathbf{E},
e como \nabla\cdot \mathbf{E}=0, obtemos
-\,\nabla^{2}\mathbf{E} = -\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times \mathbf{B}\bigr).

Passo 5

Em seguida substituímos \nabla\times \mathbf{B} = \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} na equação anterior:
\nabla^{2}\mathbf{E} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}.
Isso é justamente a equação de onda para \mathbf{E}.

Passo 6

De modo análogo, aplicando os mesmos passos (curl de \nabla\times \mathbf{B}, identidade vetorial e uso de \nabla\times \mathbf{E}), chega-se a
\nabla^{2}\mathbf{B} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\mathbf{B}}{\partial t^{2}},
que é a equação de onda para \mathbf{B}.

Passo 7

As equações
\nabla^{2}\mathbf{E} = \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}, \quad \nabla^{2}\mathbf{B} = \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\mathbf{B}}{\partial t^{2}}
mostram que \mathbf{E} e \mathbf{B} são ondas que se propagam com velocidade
v = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}}}.

Passo 8

Usando os valores numéricos \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} e \varepsilon_{0}\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
calculamos
v = \frac{1}{\sqrt{4\pi\times10^{-7}\;\cdot\;8{,}854\times10^{-12}}} \approx3\times10^{8}\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.

Resposta

A partir das equações de Maxwell no vácuo obtêm-se as equações de onda \nabla^{2}\mathbf{E} = \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}
e \nabla^{2}\mathbf{B} = \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\mathbf{B}}{\partial t^{2}},
mostrando o comportamento ondulatório de \mathbf{E} e \mathbf{B}. A velocidade de propagação é
c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}}} \approx 3\times10^{8}\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.

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