Em um circuito RC, ligado a uma fonte contínua de tensão \varepsilon, a chave é ligada em t=0 \mathrm{~s}, com o capacitor descarregado.
a) Ache a corrente i em função do tempo.
b) Ache a energia armazenada no capacitor, após um tempo muito longo.
c) Ache a energia total fornecida pela bateria, durante esse tempo.
d) Obtenha a energia total dissipada no resistor durante esse tempo. Mostre que a metade da energia fornecida estará armazenada no capacitor e a outra metade dela terá sido dissipada no resistor.

Passo 1

O enunciado trata de um circuito série formado por uma resistência R e um capacitor C, ligados a uma fonte de tensão contínua \varepsilon. No instante t=0 a chave fecha, e o capacitor está inicialmente descarregado V_C(0)=0. Pede-se:
  • (a) a corrente i(t) no circuito;
  • (b) a energia armazenada no capacitor para t\to\infty;
  • (c) a energia total fornecida pela fonte durante o carregamento;
  • (d) a energia dissipada em R e a demonstração de que metade da energia fornecida vai para o capacitor e metade se dissipa no resistor.
Para resolver usaremos equações diferenciais de circuito RC, a expressão da energia de um capacitor e integrais de potência.

Passo 2

Aplicando a lei de Kirchhoff no laço (KVL):
\varepsilon = v_R(t) + v_C(t)
sabendo que v_R(t)=R\,i(t) e i(t)=C\,\frac{dv_C}{dt}. Substituindo e diferenciando em relação a t obtemos
0 = R\,\frac{di}{dt} + \frac{1}{C}\,i(t) \quad\Longrightarrow\quad \frac{di}{dt} + \frac{1}{RC}\,i(t) = 0.
A solução geral é
i(t) = I_0 \,e^{-t/(RC)}.
Como em t=0 o capacitor está descarregado, toda tensão cai no resistor, logo I_0 = \varepsilon/R. Portanto
i(t) = \frac{\varepsilon}{R}\,e^{-t/(RC)}.

Passo 3

A energia armazenada num capacitor que alcança tensão final \varepsilon é
E_C = \tfrac12\,C\,\varepsilon^2.
Como t\to\infty o capacitor carrega totalmente até \varepsilon, a energia no capacitor é
E_C(\infty) = \frac12\,C\,\varepsilon^2.

Passo 4

A energia fornecida pela fonte é
E_{\text{sup}} = \int_{0}^{\infty} \varepsilon\,i(t)\,dt = \varepsilon \int_{0}^{\infty} \frac{\varepsilon}{R}\,e^{-t/(RC)}\,dt = \frac{\varepsilon^2}{R}\,\bigl[{-}RC\,e^{-t/(RC)}\bigr]_{0}^{\infty} = C\,\varepsilon^2.

Passo 5

A energia dissipada no resistor é a diferença entre o que a fonte forneceu e o que ficou no capacitor:
E_R = E_{\text{sup}} - E_C(\infty) = C\,\varepsilon^2 - \tfrac12\,C\,\varepsilon^2 = \tfrac12\,C\,\varepsilon^2.
Logo, de fato metade da energia fornecida C\varepsilon^2 fica armazenada no capacitor \tfrac12C\varepsilon^2 e a outra metade é dissipada no resistor \tfrac12C\varepsilon^2.

Resposta

(a) \displaystyle i(t) = \frac{\varepsilon}{R}\,e^{-t/(RC)}.
(b) \displaystyle E_C(\infty) = \tfrac12\,C\,\varepsilon^2.
(c) \displaystyle E_{\text{sup}} = C\,\varepsilon^2.
(d) \displaystyle E_R = \tfrac12\,C\,\varepsilon^2, mostrando que metade da energia foi armazenada no capacitor e metade dissipada no resistor.

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