Ex-02: Considere um potencial vetor magnético \overrightarrow{\boldsymbol{A}}=\frac{\boldsymbol{B}_{\mathbf{0}}}{2}(-y \overrightarrow{\boldsymbol{\imath}}+-y \overrightarrow{\boldsymbol{\jmath}}) \boldsymbol{B}_{\mathbf{0}} constante.
(a) Determine o campo magnético \overrightarrow{\boldsymbol{B}} associado a esse potencial vetor.
(b) Descreva a distribuição do campo magnético gerado e verifique se ele é constante em módulo e direção.

Passo 1

O enunciado dá o potencial vetor magnético
\vec{A}(x,y,z)=\frac{B_{0}}{2}\bigl(-y\,\hat{\imath}+x\,\hat{\jmath}\bigr),
com B_{0} constante, e pede (a) calcular o campo magnético \vec{B}=\nabla\times\vec{A} e (b) descrever sua distribuição, verificando se módulo e direção são constantes. Vamos usar a definição do rotacional em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Identificamos as componentes de \vec{A}:
A_x=-\frac{B_{0}}{2}\,y, \quad A_y= \frac{B_{0}}{2}\,x, \quad A_z=0.
O rotacional em cartesianas é
\vec{B}=\nabla\times\vec{A} =\begin{vmatrix} \hat{\imath}&\hat{\jmath}&\hat{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\ A_x&A_y&A_z \end{vmatrix}.

Passo 3

Calculamos as componentes B_x e B_y:
B_x=\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z} =0-0=0,
B_y=\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x} =0-0=0.

Passo 4

Calculamos a componente B_z:
B_z=\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{B_{0}}{2}x\Bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-\frac{B_{0}}{2}y\Bigr) =\frac{B_{0}}{2}+\frac{B_{0}}{2} =B_{0}.
Logo
\vec{B}=0\,\hat{\imath}+0\,\hat{\jmath}+B_{0}\,\hat{k} =B_{0}\,\hat{k}.

Passo 5

A distribuição de \vec{B} é uniforme em todo o espaço: todas as linhas de campo são paralelas ao eixo z, não dependem de x,y nem de z. O módulo \|\vec{B}\|=B_{0} é constante e a direção (para cima, segundo \hat{k}) também é constante.

Resposta

\displaystyle \vec{B}=\nabla\times\vec{A}=B_{0}\,\hat{k}, uniforme em módulo e direção.

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