1. Um planeta X está orbitando em torno de uma Estrela conforme a equação x^2+4 y^2=16 ( x e y estảo em milhöes de km ) e a translação deste planeta é de aproximadamente 4 anos. O planeta Y orbita a mesma Estrela e a sua translação é de 6 anos. Calcule o raio orbital do planeta Y.

Passo 1

A gente tem um planeta X com órbita elíptica dada por x^2+4y^2=16 (em milhões de km) e período de translação TX=4 anos. O planeta Y tem período TY=6 anos. O conteúdo aqui é a terceira lei de Kepler, que relaciona o quadrado do período ao cubo do semieixo maior da órbita. Vamos precisar do semieixo maior de X e, depois, aplicar a lei para achar o raio orbital de Y.

Passo 2

Da equação x^2+4y^2=16 reconhecemos o formato x^2a^2+y^2b^2=1. Assim, a^2=16 e b^2=4, ou seja a=4 milhões de km (semieixo maior) e b=2 milhões de km (semieixo menor). Logo aX=4 milhões de km.

Passo 3

A terceira lei de Kepler diz que o quadrado do período é proporcional ao cubo do semieixo maior. Escrevendo a relação entre X e Y:
TX^2aX^3=TY^2aY^3
Substituindo TX=4, aX=4 e TY=6 anos, vamos resolver para aY.

Passo 4

A partir de
4^24^3=6^2aY^3
de onde 16/64=36/aY^3 e 1/4=36/aY^3. Então aY^3=36cdot4=144 e
aY=raiz[3]144approx5,24
milhões de km.

Resposta

O raio orbital do planeta Y é aproximadamente 5,24 milhões de km.

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