1. A equação 4 x^2+25 y^2-100=0 descreve a órbita de um planeta que leva 1 ano para dar uma volta completa em torno de uma estrela. Calcule a área varrida por este mesmo planeta em um periodo equivalente a 1 / 5 do ano. Observaçăo: as medidas de distância estão em milhőes de km .

Passo 1

A equação dada é 4x^2 + 25y^2 - 100 = 0, que descreve uma elipse. O conteúdo aqui é o cálculo de área de elipse e a aplicação da Segunda Lei de Kepler, que diz que o raio-vetor varre áreas iguais em tempos iguais. Vamos precisar reescrever a equação no formato padrão de elipse, achar os semi-eixos e usar que a área total varrida num ano é a área da elipse, aplicando depois o fator 1/5 para o tempo de 1/5 de ano.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma padrão dividindo tudo por 100:

Passo 3

4x^2100 + 25y^2100 = 1

Passo 4

o que simplifica para

Passo 5

x^225 + y^24 = 1

Passo 6

Assim vemos que o semi-eixo maior é a = 5 (milhões de km) e o semi-eixo menor é b = 2 (milhões de km).

Passo 7

A área total da elipse é dada por A = pi a b. Substituindo:

Passo 8

A = pi times 5 times 2 = 10pi(milhões de km)^2õ

Passo 9

Pela Segunda Lei de Kepler, a área varrida em 1/5 do período é 1/5 da área total. Logo:

Passo 10

A1/5 = 15 times 10pi = 2pi(milhões de km)^2õ

Resposta

2pi (milhões de km)²

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