[07] Determine se a transformação linear T é diagonalizável. Caso seja, determinar uma base B que diagonaliza T.
T: R^2 R^2 com T(x, y)=(-x+y, 6 x-2 y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se TcolonR^2toR^2 dada por
T(x,y)=(-x+y,;6x-2y)
é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma base B de autovetores que diagonaliza T. Vamos usar a representação matricial de T na base canônica e depois achar autovalores e autovetores.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica e1,e2. Para isso, vemos
T(1,0)=(-1,6), T(0,1)=(1,-2),
de onde
A = -1 & 1 6 & -2
é a matriz de T.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A pelo determinante de A-lambda I:
det(A-lambda I) =det-1-lambda & 1 6 & -2-lambda =(-1-lambda)(-2-lambda)-6
Expandindo em display:
det(A-lambda I) =(lambda+1)(lambda+2)-6 =lambda^2+3lambda+2-6 =lambda^2+3lambda-4

Passo 4

Resolvemos lambda^2+3lambda-4=0.
lambda = -3pmraiz9+162 =-3pm52 Longrightarrow lambda1=1,;lambda2=-4
Como são dois autovalores reais distintos, A (e portanto T) é diagonalizável.

Passo 5

Para , resolvemos :
Um autovetor associado é .
Para , resolvemos :
Um autovetor associado é .

Resposta

A transformação é diagonalizável. Uma base de autovetores que a diagonaliza é
B=l(1,2),(1,-3)r,
e, nessa base, a matriz de T é diagonal com entradas 1 e -4.

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