Problema 15 Mostre que o conjunto B=(1,0,0) ;(0,1,0),(0,0,1) é uma base ortonormal. Tal base recebe o nome de base canônica de R^3 e é de costume representar estes vetores por i, j e k, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
B = (1,0,0),,(0,1,0),,(0,0,1)
é uma base ortonormal de R^3.
Para isso precisamos usar os conceitos de produto interno em R^3, norma induzida e definição de base ortonormal:
  1. ortogonalidade: quaisquer dois vetores distintos têm produto interno zero;
  2. normalização: cada vetor tem norma igual a 1;
  3. por terem três vetores em R^3 e serem ortonormais, formam automaticamente uma base.

Passo 2

Verificamos a ortogonalidade calculando o produto interno entre cada par distinto.
O produto interno em R^3 é
lang<= (x1,x2,x3),(y1,y2,y3)rang<= = x1y1 + x2y2 + x3y3
Logo,
lang<=(1,0,0),(0,1,0)rang<= = 1cdot0 + 0cdot1 + 0cdot0 = 0,
lang<=(1,0,0),(0,0,1)rang<= = 1cdot0 + 0cdot0 + 0cdot1 = 0,
lang<=(0,1,0),(0,0,1)rang<= = 0cdot0 + 1cdot0 + 0cdot1 = 0
Portanto, todos os pares são ortogonais.

Passo 3

Verificamos a normalização calculando a norma de cada vetor, onde
|(x1,x2,x3)| = raizx1^2 + x2^2 + x3^2
Temos
|(1,0,0)| = raiz1^2+0+0 = 1, |(0,1,0)| = raiz0+1^2+0 = 1, |(0,0,1)| = raiz0+0+1^2 = 1
Cada vetor tem norma unitária.

Passo 4

Como B é um conjunto de três vetores ortogonais e não-nulos em R^3, eles são necessariamente linearmente independentes. Além disso, qualquer vetor (x,y,z)inR^3 pode ser escrito de modo único como
(x,y,z) = x,(1,0,0) + y,(0,1,0) + z,(0,0,1),
mostrando que B gera todo R^3. Assim, B é de fato uma base ortonormal.

Resposta

O conjunto
B = (1,0,0),,(0,1,0),,(0,0,1)
é uma base ortonormal de R^3, conhecida como base canônica, e costuma-se denotá-la por vec i,vec j,vec k.

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