Problema 15 Mostre que o conjunto
é uma base ortonormal. Tal base recebe o nome de base canônica de
e é de costume representar estes vetores por
e
, respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é uma base ortonormal de .
Para isso precisamos usar os conceitos de produto interno em , norma induzida e definição de base ortonormal:
é uma base ortonormal de
Para isso precisamos usar os conceitos de produto interno em
- ortogonalidade: quaisquer dois vetores distintos têm produto interno zero;
- normalização: cada vetor tem norma igual a 1;
- por terem três vetores em
e serem ortonormais, formam automaticamente uma base.
Passo 2
Verificamos a ortogonalidade calculando o produto interno entre cada par distinto.
O produto interno em é
O produto interno em
Logo,
Portanto, todos os pares são ortogonais.
Passo 3
Verificamos a normalização calculando a norma de cada vetor, onde
Temos
Cada vetor tem norma unitária.
Passo 4
Como
é um conjunto de três vetores ortogonais e não-nulos em
, eles são necessariamente linearmente independentes. Além disso, qualquer vetor
pode ser escrito de modo único como
mostrando que
gera todo
. Assim,
é de fato uma base ortonormal.
Resposta
O conjunto
é uma base ortonormal de , conhecida como base canônica, e costuma-se denotá-la por
.
é uma base ortonormal de