[08] Determine o polinômio característico, os autovalores, os subespaços associados Vlambda da transformação linear T: R^4 R^4 definida como
T(x, y, z, w)=(x+y+z+w, x+y+z,-y+w, w)
Com os dados obtidos anteriormente, concluir se T é diagonalizável ou não.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T(x,y,z,w) = (,x+y+z+w,;x+y+z,;-y+w,;w)em R^4
e pede o polinômio característico, os autovalores com suas multiplicidades algébricas, os subespaços próprios Vlambda e, por fim, verificar se T é diagonalizável.

Passo 2

Vamos obter a matriz de T na base canônica e1,e2,e3,e4.
Aplicando T aos vetores da base:
T(e1)=T(1,0,0,0)=(1,1,0,0),
T(e2)=T(0,1,0,0)=(1,1,-1,0),
T(e3)=T(0,0,1,0)=(1,1,0,0),
T(e4)=T(0,0,0,1)=(1,0,1,1).
Logo, a matriz é
A = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 0 0 & -1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1

Passo 3

Para achar o polinômio característico, calculamos
chiT(lambda)=det(A - lambda I) =det 1-lambda & 1 & 1 & 1 1 & 1-lambda & 1 & 0 0 & -1 & -lambda & 1 0 & 0 & 0 & 1-lambda
Expansão pela última linha dá
chiT(lambda) = (1-lambda),det 1-lambda & 1 & 1 1 & 1-lambda & 1 0 & -1 & -lambda
Calculando essa 3times3:
det = -lambda,( lambda -1)^2,
logo
chiT(lambda)=(1-lambda)l(-lambda(lambda-1)^2r) =lambda(lambda-1)^3

Passo 4

Do polinômio chiT(lambda)=lambda(lambda-1)^3 obtemos os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
lambda=0(mu< alg 1), lambda=1(mu< alg 3)

Passo 5

Para
De vem . Das duas primeiras repetem , ou seja .
Logo
dimensão , como esperado.

Passo 6

Para
De . Das duas outras, somando, leva a e depois .
Portanto
dimensão , embora a multiplicidade algébrica seja .

Passo 7

Como a soma das dimensões dos subespaços próprios é
dim V0 + dim V1 = 1 + 1 = 2 < 4,
não há base de autovetores suficiente. Logo, T não é diagonalizável.

Resposta

Polinômio característico:
chiT(lambda)=lambda(lambda-1)^3
Autovalores e subespaços associados:
lambda=0, mult.\ alg.\ 1,
V0=span(-1,0,1,0)
lambda=1, mult.\ alg.\ 3,
V1=span(-1,-1,1,0)
Como dim V0+dim V1=2<4, T não é diagonalizável.

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