[07] Determine se a transformação linear T é diagonalizável. Caso seja, determinar uma base B que diagonaliza T. T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com T(x, y)=(-3 x+2 y,-5 x-3 y)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(-3x+2y,\,-5x-3y)
e pergunta se T é diagonalizável em \mathbb{R}^2. Para isso, vamos representar T por sua matriz na base canônica, calcular os autovalores e verificar se existem dois autovetores reais linearmente independentes.
Passo 2
A matriz de T na base \{(1,0),(0,1)\} é
A = \begin{pmatrix} -3 & 2\\\\ -5 & -3 \end{pmatrix}.
Os autovalores \lambda satisfazem o polinômio característico
Para diagonalizar T em \mathbb{R}^2 precisaríamos de dois autovetores reais (equivalente a ter dois autovalores reais ou um autovalor real de multiplicidade geométrica 2). Como não há nenhum autovalor real, não existem autovetores reais suficientes. Logo, Tnão é diagonalizável em \mathbb{R}^2.