[07] Determine se a transformação linear T é diagonalizável. Caso seja, determinar uma base B que diagonaliza T.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com T(x, y)=(-3 x+2 y,-5 x-3 y)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(-3x+2y,\,-5x-3y)
e pergunta se T é diagonalizável em \mathbb{R}^2. Para isso, vamos representar T por sua matriz na base canônica, calcular os autovalores e verificar se existem dois autovetores reais linearmente independentes.

Passo 2

A matriz de T na base \{(1,0),(0,1)\} é
A = \begin{pmatrix} -3 & 2\\\\ -5 & -3 \end{pmatrix}.
Os autovalores \lambda satisfazem o polinômio característico
\det(A - \lambda I) =\det\!\begin{pmatrix} -3-\lambda & 2\\\\ -5 & -3-\lambda \end{pmatrix} =( -3-\lambda)^2 - (2)(-5).

Passo 3

Expande­mos o determinante:
( -3-\lambda)^2 - (2)(-5) =\lambda^2 +6\lambda +9 +10 =\lambda^2 +6\lambda +19.
O discriminante desse polinômio é
\Delta = 6^2 - 4\cdot1\cdot19 = 36 - 76 = -40 < 0.
Como \Delta<0, não há autovalores reais.

Passo 4

Para diagonalizar T em \mathbb{R}^2 precisaríamos de dois autovetores reais (equivalente a ter dois autovalores reais ou um autovalor real de multiplicidade geométrica 2). Como não há nenhum autovalor real, não existem autovetores reais suficientes. Logo, T não é diagonalizável em \mathbb{R}^2.

Resposta

T não é diagonalizável em \mathbb{R}^2.

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