Determine se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar a matriz inversível P que diagonaliza A.
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz \r
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz inversível P que a diagonalize. Para isso, vamos:
  1. calcular os autovalores de A pelo polinômio característico;
  2. para cada autovalor, achar o espaço próprio e sua dimensão (multiplicidade geométrica);
  3. comparar multiplicidade algébrica e geométrica para decidir a diagonalizabilidade.

Passo 2

Como A é triangular superior (os elementos abaixo da diagonal principal não afetam o determinante em bloco), seus autovalores são as entradas da diagonal. Formalmente, o polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0\\\\ 2 & 1-\lambda & 2\\\\ -1 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)\,\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2\\\ 0 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)^3.
Logo o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 3.

Passo 3

Agora achamos o espaço próprio associado a \lambda=1 resolvendo
(A - I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 0 & 2\\\\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
As equações são
2x + 2z = 0,\quad -x = 0,
isto é x=0 e, então, z=0, enquanto y fica livre. Logo
E_1 = \ker(A-I) = \bigl\{(0,y,0)\mid y\in\mathbb{R}\bigr\},
cuja dimensão é 1. Essa é a multiplicidade geométrica de \lambda=1.

Passo 4

Para ser diagonalizável uma matriz de ordem 3 precisa ter três autovetores linearmente independentes, ou seja, a soma das dimensões dos espaços próprios deve ser 3. Aqui a única raiz \lambda=1 tem multiplicidade algébrica 3, mas sua multiplicidade geométrica é apenas 1.

Resposta

A matriz A não é diagonalizável, pois a multiplicidade geométrica do único autovalor \lambda=1 é menor que sua multiplicidade algébrica.

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