Determine se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar a matriz inversível P que diagonaliza A. A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]
é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz inversível P que a diagonalize. Para isso, vamos:
calcular os autovalores de A pelo polinômio característico;
para cada autovalor, achar o espaço próprio e sua dimensão (multiplicidade geométrica);
comparar multiplicidade algébrica e geométrica para decidir a diagonalizabilidade.
Passo 2
Como A é triangular superior (os elementos abaixo da diagonal principal não afetam o determinante em bloco), seus autovalores são as entradas da diagonal. Formalmente, o polinômio característico é
cuja dimensão é 1. Essa é a multiplicidade geométrica de \lambda=1.
Passo 4
Para ser diagonalizável uma matriz de ordem 3 precisa ter três autovetores linearmente independentes, ou seja, a soma das dimensões dos espaços próprios deve ser 3. Aqui a única raiz \lambda=1 tem multiplicidade algébrica 3, mas sua multiplicidade geométrica é apenas 1.
Resposta
A matriz Anão é diagonalizável, pois a multiplicidade geométrica do único autovalor \lambda=1 é menor que sua multiplicidade algébrica.