Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{2} tais que todas entradas de A \vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 4 \times 2 é um subespaço vetorial.
II - O conjunto das matrizes A_{3 \times 3} onde a_{22}+a_{33}=9\left(a_{i j}\right. é a entrada da matriz A da linha i, coluna j ) é um subespaço vetorial.
III - O conjunto \{(0,0,0,0)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas I e III são verdadeiras.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado apresenta três conjuntos e pede para avaliar quais deles são subespaços vetoriais. O conteúdo envolvido é a definição de subespaço: um subconjunto de um espaço vetorial deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Analisando a afirmativa I:
O conjunto
S = \{\vec v\in\mathbb{R}^2 \mid A\vec v\text{ tem todas as entradas positivas}\}
não contém o vetor zero, pois A\cdot\vec0=\vec0 e \vec0 não tem entradas positivas. Logo 0\notin S e S não pode ser subespaço.

Passo 3

Analisando a afirmativa II:
O conjunto
T = \{A\in M_{3\times3} \mid a_{22}+a_{33}=9\}
não contém a matriz zero, pois nessa matriz a_{22}+a_{33}=0\neq9. Assim o zero não está em T e T não é subespaço.

Passo 4

Analisando a afirmativa III:
O conjunto \{(0,0,0,0)\}\subset\mathbb{R}^4 é o subespaço trivial. Ele contém o zero, e somas ou produtos escalares de (0,0,0,0) continuam sendo (0,0,0,0), satisfazendo as propriedades de subespaço.

Passo 5

Das três afirmativas, apenas a III é verdadeira.

Resposta

(G) Apenas III é verdadeira.

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