Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto de todos
tais que todas entradas de
são positivas, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
II - O conjunto das matrizes
onde
é a entrada da matriz
da linha
, coluna
) é um subespaço vetorial.
III - O conjunto
é um subespaço vetorial.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas I e III são verdadeiras.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas II é verdadeira.
I - O conjunto de todos
II - O conjunto das matrizes
III - O conjunto
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas I e III são verdadeiras.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado apresenta três conjuntos e pede para avaliar quais deles são subespaços vetoriais. O conteúdo envolvido é a definição de subespaço: um subconjunto de um espaço vetorial deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e sob multiplicação escalar.
Passo 2
Analisando a afirmativa I:
O conjunto
O conjunto
não contém o vetor zero, pois
e
não tem entradas positivas. Logo
e
não pode ser subespaço.
Passo 3
Analisando a afirmativa II:
O conjunto
O conjunto
não contém a matriz zero, pois nessa matriz
. Assim o zero não está em
e
não é subespaço.
Passo 4
Analisando a afirmativa III:
O conjunto é o subespaço trivial. Ele contém o zero, e somas ou produtos escalares de
continuam sendo
, satisfazendo as propriedades de subespaço.
O conjunto
Passo 5
Das três afirmativas, apenas a III é verdadeira.
Resposta
(G) Apenas III é verdadeira.