Determine se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar a matriz inversível P que diagonaliza A.
A=\left[\begin{array}{cc}3 & -4 \\\\ -3 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & -4\\\\ -3 & 2 \end{pmatrix}
é diagonalizável. Para isso, vamos calcular o polinômio característico de A, verificar seus autovalores e mostrar que há dois autovetores linearmente independentes. Se isso ocorrer, A é diagonalizável e podemos formar uma matriz invertível P cujas colunas são esses autovetores, de modo que
P^{-1} A\,P = D
seja diagonal.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 3-\lambda & -4\\\\ -3 & 2-\lambda \end{pmatrix} =(3-\lambda)(2-\lambda)-(-4)(-3)
\phantom{\det(A - \lambda I)} =(3-\lambda)(2-\lambda)-12 =\lambda^2-5\lambda-6.
As raízes de \lambda^2-5\lambda-6=0 são
\lambda = \frac{5\pm\sqrt{25+24}}{2} = \frac{5\pm7}{2},
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\lambda_1 = 6, \quad \lambda_2 = -1.

Passo 3

Para \lambda_1=6, resolvemos (A-6I)x=0:
\begin{pmatrix} 3-6 & -4\\\\ -3 & 2-6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & -4\\\\ -3 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0
daqui vem -3x-4y=0\Rightarrow x=-\tfrac{4}{3}y. Escolhendo y=3, um autovetor é
v_1 = \begin{pmatrix}-4\\\ 3\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-1, resolvemos (A+I)x=0:
\begin{pmatrix} 3+1 & -4\\\\ -3 & 2+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & -4\\\\ -3 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0
daqui vem 4x-4y=0\Rightarrow x=y. Tomando y=1, um autovetor é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Os vetores v_1 e v_2 são linearmente independentes, pois não são múltiplos um do outro.

Passo 4

Formamos a matriz P com colunas v_1 e v_2:
P = \begin{pmatrix} -4 & 1\\\\ 3 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante de P é -4\cdot1 - 1\cdot3 = -7\neq0, logo P é invertível. Então
P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 6 & 0\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

A matriz A é diagonalizável. Uma escolha de matriz P que diagonaliza A é
P = \begin{pmatrix} -4 & 1\\\\ 3 & 1 \end{pmatrix},
que satisfaz
P^{-1}AP = \begin{pmatrix}6 & 0\\\ 0 & -1\end{pmatrix}.

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