O enunciado define \displaystyle S=\{(x_{1},\dots,x_{16})\in\mathbb{R}^{16}\mid \;x_{13}=x_{4},\;x_{5}=x_{7},\;x_{1}=x_{8},\;x_{5}+x_{13}=x_{7}+x_{4}\}.
Queremos ver que tipo de objeto é S (é subespaço linear) e calcular sua dimensão. Para isso, interpretamos essas quatro condições como equações lineares homogêneas em \mathbb{R}^{16}.
Passo 2
Escrevemos cada condição como combinação linear igual a zero:
x_{13}-x_{4}=0,
x_{5}-x_{7}=0,
x_{1}-x_{8}=0,
(x_{5}-x_{7})+(x_{13}-x_{4})=0.
A quarta equação é justamente a soma das duas primeiras.
Passo 3
Concluímos que a quarta equação
\,(x_{5}-x_{7})+(x_{13}-x_{4})=0
é redundante, pois já está garantida por
\,x_{13}-x_{4}=0\quad\text{e}\quad x_{5}-x_{7}=0.
Passo 4
Logo, o sistema efetivamente impõe apenas três equações lineares independentes em \mathbb{R}^{16}\):
\[\begin{cases} x_{13}=x_{4},\\\ x_{5}=x_{7},\\\ x_{1}=x_{8}. \end{cases}
Isto significa que o posto da matriz do sistema é (3].
Passo 5
Pela fórmula da dimensão do núcleo (teorema do posto e da nulidade), temos
\dim S = 16 - (\text{nº de equações independentes}) = 16 - 3 = 13.ºçõ