Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{16}\right) \in \mathbb{R}^{16} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{13} & =x_{4} \\\ x_{5} & =x_{7} \\\ x_{1} & =x_{8} \\\ x_{5}+x_{13} & =x_{7}+x_{4} \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado define \displaystyle S=\{(x_{1},\dots,x_{16})\in\mathbb{R}^{16}\mid \;x_{13}=x_{4},\;x_{5}=x_{7},\;x_{1}=x_{8},\;x_{5}+x_{13}=x_{7}+x_{4}\}.
Queremos ver que tipo de objeto é S (é subespaço linear) e calcular sua dimensão. Para isso, interpretamos essas quatro condições como equações lineares homogêneas em \mathbb{R}^{16}.

Passo 2

Escrevemos cada condição como combinação linear igual a zero:
x_{13}-x_{4}=0,
x_{5}-x_{7}=0,
x_{1}-x_{8}=0,
(x_{5}-x_{7})+(x_{13}-x_{4})=0.
A quarta equação é justamente a soma das duas primeiras.

Passo 3

Concluímos que a quarta equação
\,(x_{5}-x_{7})+(x_{13}-x_{4})=0
é redundante, pois já está garantida por
\,x_{13}-x_{4}=0\quad\text{e}\quad x_{5}-x_{7}=0.

Passo 4

Logo, o sistema efetivamente impõe apenas três equações lineares independentes em \mathbb{R}^{16}\): \[\begin{cases} x_{13}=x_{4},\\\ x_{5}=x_{7},\\\ x_{1}=x_{8}. \end{cases}
Isto significa que o posto da matriz do sistema é (3].

Passo 5

Pela fórmula da dimensão do núcleo (teorema do posto e da nulidade), temos
\dim S = 16 - (\text{nº de equações independentes}) = 16 - 3 = 13.ºçõ

Resposta

\displaystyle \dim S = 13

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