07 Prove que |u+v|^2=|u|^2+2 u cdot v+|v|^2

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade que relaciona a norma ao quadrado da soma de dois vetores com seus produtos escalares. O conteúdo é produto escalar e norma de vetores, e vamos usar a definição de norma ao quadrado e as propriedades de bilinearidade e comutatividade do produto escalar.

Passo 2

Pela definição de norma ao quadrado, temos:
|u+v|^2 = (u+v)cdot(u+v)

Passo 3

Usando a bilinearidade (distributividade) do produto escalar, expandimos:
(u+v)cdot(u+v) = ucdotu + ucdotv + vcdotu + vcdotv

Passo 4

Como o produto escalar é comutativo, ucdotv=vcdotu. Assim, os termos do meio somam:
ucdotv + vcdotu = 2,ucdotv

Passo 5

Reconhecendo que ucdotu=|u|^2 e vcdotv=|v|^2, substituímos na expansão e chegamos à identidade desejada:
|u+v|^2 = |u|^2 + 2,ucdotv + |v|^2

Resposta

|u+v|^2 = |u|^2 + 2,ucdotv + |v|^2

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