A seguinte afirmação é falsa ou verdadeira: se A in Mn(C) é uma matriz com entradas complexas de ordem n é tal que A^4=In então
(ll i & 0 1 & i )
pode ser um bloco de Jordan de A.

Passo 1

O exercício pede para verificar se, para uma matriz Ain Mn( C) tal que A^4=In, pode surgir como bloco de Jordan o bloco J2(i)=i&01&i. O conteúdo envolvido é teoria de blocos de Jordan e propriedades de matrizes que satisfazem A^k=I. Vamos usar também a expansão binomial para matrizes que comutam.

Passo 2

O bloco de Jordan considerado é J=i&01&i Definimos N=J-iI2, então
N=0&01&0, e vemos que N^2=0 (é nilpotente de índice 2).

Passo 3

Como J=iI2+N e I2 comuta com N, usamos a expansão binomial para obter
J^4=(iI2+N)^4=sumk=0^4binom4ki^4-kN^k=i^4I2+4i^3N+6i^2N^2+4iN^3+N^4

Passo 4

Mas N^2=N^3=N^4=0, logo
J^4=i^4I2+4i^3N=I2+4(-i)N=I2-4iNneq I2

Passo 5

Como este bloco de Jordan não satisfaz J^4=I2, ele não pode aparecer na forma de Jordan de A quando A^4=In.

Resposta

A afirmação é falsa.

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