Seja T: R^6 R^6 um operador linear com polinômios característico e minimal dados, respectivamente, por PT=(x-2)^4(x-1)^2 e mT=(x-2)^2(x-1)^2. Além disso suponha que dim ker(T-2 I)=2. Nestas condições encontre a forma de Jordan de T. Com os polinômios característico e minimal acima é possível supormos que dim ker(T-2 I)=1 ?

Passo 1

A questão: temos um operador linear T: R^6to R^6 com polinômio característico PT=(x-2)^4(x-1)^2, polinômio minimal mT=(x-2)^2(x-1)^2 e sabemos que dimker(T-2I)=2. Queremos achar a forma de Jordan de T e depois checar se, só com esses polinômios, poderia ser dimker(T-2I)=1.

Passo 2

Para montar a forma de Jordan, lembramos que: (1) a multiplicidade algébrica de um autovalor lambda é o expoente de (x-lambda) em PT; (2) o expoente de (x-lambda) em mT é o tamanho do maior bloco de Jordan para lambda; (3) a multiplicidade geométrica dimker(T-lambda I) é o número de blocos de Jordan para lambda.

Passo 3

Para lambda=2: a multiplicidade algébrica é 4 (pois (x-2)^4 em PT), e o expoente em mT é 2, logo o maior bloco tem tamanho 2. Como dimker(T-2I)=2, existem 2 blocos de Jordan para 2. Para somarem 4 dimensão, só cabe a partição 2+2. Portanto, temos dois blocos J2(2).

Passo 4

Para lambda=1: a multiplicidade algébrica é 2 e o expoente em mT é 2, então o maior bloco tem tamanho 2. Para cobrir as 2 dimensões, precisamos de um único bloco de tamanho 2 (se usássemos dois blocos de tamanho 1, o maior bloco teria tamanho 1, contradizendo o minimal). Logo há um bloco J2(1).

Passo 5

A forma de Jordan de T fica então
J=diagl(J2(2),;J2(2),;J2(1)r)
com
J2(2)=2&10&2, J2(1)=1&10&1

Passo 6

Para a segunda pergunta: se tentássemos ter dimker(T-2I)=1, isso significaria um único bloco de Jordan para 2 de tamanho 4. Mas então o fator (x-2) no polinômio minimal deveria aparecer com expoente 4, e não 2. Logo, com os polinômios característico e minimal dados, não é possível supor dimker(T-2I)=1.

Resposta

A forma de Jordan é
J=diagl(J2(2),;J2(2),;J2(1)r)
com
J2(2)=2&10&2, J2(1)=1&10&1
Não é possível ter dimker(T-2I)=1 mantendo os polinômios característico e minimal dados.

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