Seja
um operador linear com polinômios característico e minimal dados, respectivamente, por
e
. Além disso suponha que dim
. Nestas condições encontre a forma de Jordan de
. Com os polinômios característico e minimal acima é possível supormos que
?
Passo 1
A questão: temos um operador linear
com polinômio característico
, polinômio minimal
e sabemos que
. Queremos achar a forma de Jordan de
e depois checar se, só com esses polinômios, poderia ser
.
Passo 2
Para montar a forma de Jordan, lembramos que: (1) a multiplicidade algébrica de um autovalor
é o expoente de
em
; (2) o expoente de
em
é o tamanho do maior bloco de Jordan para
; (3) a multiplicidade geométrica
é o número de blocos de Jordan para
.
Passo 3
Para
: a multiplicidade algébrica é 4 (pois
em
), e o expoente em
é 2, logo o maior bloco tem tamanho 2. Como
, existem 2 blocos de Jordan para
. Para somarem 4 dimensão, só cabe a partição
. Portanto, temos dois blocos
.
Passo 4
Para
: a multiplicidade algébrica é 2 e o expoente em
é 2, então o maior bloco tem tamanho 2. Para cobrir as 2 dimensões, precisamos de um único bloco de tamanho 2 (se usássemos dois blocos de tamanho 1, o maior bloco teria tamanho 1, contradizendo o minimal). Logo há um bloco
.
Passo 5
A forma de Jordan de
fica então
com
Passo 6
Para a segunda pergunta: se tentássemos ter
, isso significaria um único bloco de Jordan para
de tamanho 4. Mas então o fator
no polinômio minimal deveria aparecer com expoente 4, e não 2. Logo, com os polinômios característico e minimal dados, não é possível supor
.
Resposta
A forma de Jordan é
com
Não é possível ter
mantendo os polinômios característico e minimal dados.