Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita e T in L(V). Prove que se existe um vetor cíclico para T^2 então existe um vetor cíclico para T. Vale a recíproca?

Passo 1

A ideia principal é mostrar que, se existe um vetor cíclico para T^2, então esse mesmo vetor gera V sob as potências de T. O conteúdo aqui é teoria de vetores cíclicos e polinômios mínimos, e vamos usar a definição de vetor cíclico e o fato de que, em espaço de dimensão n, um conjunto de n vetores que gera o espaço é base.

Passo 2

Suponha que wne0 seja cíclico para T^2. Então é uma base de x08igl,w, T^2w, T^4w,dots,T^2(n-1)wx08igr, , onde . Isso significa que esses V vetores são linearmente independentes e geram nobreak n=dim V.
Vamos mostrar que o conjunto n gera também V. De fato, para cada B=w, Tw, T^2w,dots, T^n-1w, temos
Logo cada vetor V com k=1,2,dots,n-1 pode ser obtido aplicando T^2kw=Tl(T^2k-1w),n T^2k-1w=Tl(T^2k-2w) a algum vetor de grau menor. Por indução, qualquer T^mw ou m>=2 está em T.

Passo 3

Como a base de T^2 é w, T^2w,dots,T^2(n-1)wsubseteqspan,B, concluímos que span,B=V. Mas B tem exatamente n vetores em um espaço de dimensão n, então B é uma base de V.
Portanto w é cíclico para T, pois V=spanw, Tw, T^2w,dots,T^n-1w Isso prova a afirmação principal.

Passo 4

Para a recíproca: nem sempre. Por exemplo, em V= K^2, considere T=diag(1,-1). Qualquer vetor com duas coordenadas não nulas é cíclico para T, mas T^2=I é a identidade, que não tem vetor cíclico em dimensão 2 (só gera subespaço de dimensão 1). Assim a recíproca falha.

Resposta

Se T^2 tem vetor cíclico então T também tem (basta usar o mesmo vetor). A recíproca, porém, é falsa, conforme o exemplo de T=diag(1,-1) em dimensão 2.

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