Sejam
um
-espaço vetorial de dimensão finita e
. Prove que se existe um vetor cíclico para
então existe um vetor cíclico para
. Vale a recíproca?
Passo 1
A ideia principal é mostrar que, se existe um vetor cíclico para
, então esse mesmo vetor gera
sob as potências de
. O conteúdo aqui é teoria de vetores cíclicos e polinômios mínimos, e vamos usar a definição de vetor cíclico e o fato de que, em espaço de dimensão
, um conjunto de
vetores que gera o espaço é base.
Passo 2
Suponha que
seja cíclico para
. Então é uma base de
, onde . Isso significa que esses
vetores são linearmente independentes e geram
.
Vamos mostrar que o conjunto
gera também
. De fato, para cada
, temos
Logo cada vetor com
pode ser obtido aplicando
a algum vetor de grau menor. Por indução, qualquer
ou
está em
.
Logo cada vetor
Passo 3
Como a base de
é
, concluímos que
. Mas
tem exatamente
vetores em um espaço de dimensão
, então
é uma base de
.
Portanto
é cíclico para
, pois
Isso prova a afirmação principal.
Passo 4
Para a recíproca: nem sempre. Por exemplo, em
, considere
. Qualquer vetor com duas coordenadas não nulas é cíclico para
, mas
é a identidade, que não tem vetor cíclico em dimensão 2 (só gera subespaço de dimensão 1). Assim a recíproca falha.
Resposta
Se
tem vetor cíclico então
também tem (basta usar o mesmo vetor). A recíproca, porém, é falsa, conforme o exemplo de
em dimensão 2.