09)(q.679/p.247) Calcule a distância de uma seção plana de uma esfera ao centro da esfera, sabendo que o círculo máximo tem área igual ao quádruplo da área determinada pela seção plana e que o raio da esfera mede 17 cm .

Passo 1

O enunciado pede a distância de um plano que corta uma esfera de raio R=17\text{ cm} ao seu centro, sabendo que a área do círculo máximo é quatro vezes a área do círculo obtido na seção plana. Para resolver, vamos usar a fórmula da área do círculo \pi r^2 e a relação geométrica entre o raio do círculo de interseção r, a distância do plano ao centro d e o raio da esfera R:
r^2 = R^2 - d^2.

Passo 2

O círculo máximo corresponde à interseção de um plano passando pelo centro e tem raio R, portanto sua área é
A_{\text{máx}} = \pi R^2.á
A seção plana a uma distância d do centro gera um círculo de raio r dado por
r^2 = R^2 - d^2.

Passo 3

A área desse círculo de seção vale
A_{\text{sec}} = \pi r^2 = \pi\bigl(R^2 - d^2\bigr).

Passo 4

Como o enunciado diz que A_{\text{máx}}á é igual a quatro vezes A_{\text{sec}}, temos
\pi R^2 = 4\pi\bigl(R^2 - d^2\bigr).
Cancelando \pi em ambos os lados,
R^2 = 4\bigl(R^2 - d^2\bigr).

Passo 5

Desenvolvendo e isolando d^2,
R^2 = 4R^2 - 4d^2 \quad\Longrightarrow\quad 4d^2 = 3R^2 \quad\Longrightarrow\quad d^2 = \frac{3}{4}R^2 \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{\sqrt{3}}{2}\,R.
Substituindo R=17\text{ cm},
d = \frac{17\sqrt{3}}{2}\text{ cm}.

Resposta

A distância do plano ao centro da esfera é \displaystyle \frac{17\sqrt{3}}{2}\text{ cm}.

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