Uma esfera de raio R, centrada na origem, está uniformemente carregada com carga Q. Calcular a força da esfera sobre um segmento retilíneo, uniformemente carregado, com a carga total q , orientado radialmente com uma extremidade em r=R e a outra em r=R+d.

Passo 1

O enunciado pede a força elétrica que uma esfera de raio R e carga total Q, distribuída uniformemente no volume, exerce sobre um segmento retilíneo carregado com carga total q, também uniforme, que vai de r=R até r=R+d ao longo de uma direção radial. Vamos usar a lei de Coulomb e o princípio da superposição, integrando a contribuição de cada elemento de carga do segmento.

Passo 2

Como a carga q está uniformemente distribuída ao longo do segmento de comprimento d, a densidade linear é
\lambda = \frac{q}{d}.
Um elemento de carga do segmento, situado a uma distância r do centro da esfera, vale
dq = \lambda\,dr = \frac{q}{d}\,dr.

Passo 3

Para pontos fora da esfera r\ge R, o campo elétrico gerado pela esfera é o mesmo de uma carga puntiforme Q no centro. Logo,
E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{r^{2}}
no sentido radial.

Passo 4

O elemento de força que a esfera exerce sobre dq é
dF = dq\;E(r) = \frac{q}{d}\,dr\;\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{r^{2}} = \frac{q\,Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,d}\;\frac{dr}{r^{2}}.
Agora somamos (integramos) de r=R até r=R+d.

Passo 5

Calculamos a integral:
F = \int_{R}^{R+d} dF = \frac{q\,Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,d} \int_{R}^{R+d} \frac{dr}{r^{2}} = \frac{q\,Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,d} \Bigl[-\frac{1}{r}\Bigr]_{R}^{R+d} = \frac{q\,Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,d} \Bigl(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+d}\Bigr).
Podemos notar que \frac{1}{R}-\frac{1}{R+d}=\frac{d}{R(R+d)}, de modo que
F = \frac{q\,Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{1}{R\,(R+d)}.

Resposta

A força de repulsão (no sentido radial, empurrando o segmento para fora) vale
F = \frac{q\,Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,d}\Bigl(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+d}\Bigr) \quad\text{ou}\quad F = \frac{q\,Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,R\,(R+d)}.

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