[08] Determine o polinômio característico, os autovalores, os subespaços associados (autoespaços) V_{\lambda} da transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} definida como
T(x, y, z, t)=(x+y+z+t, x+y+z,-y+t, t)
Com os dados obtidos anteriormente, concluir se T é diagonalizável ou não.

Passo 1

Estamos com a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4, \quad T(x,y,z,t) = (x+y+z+t,\;x+y+z,\;-y+t,\;t).
Queremos obter a matriz de T na base canônica, depois o polinômio característico, os autovalores \lambda, os autovetores (os subespaços associados V_{\lambda}) e, por fim, verificar se T é diagonalizável.

Passo 2

Na base canônica e_1,e_2,e_3,e_4 temos
T(e_1) = T(1,0,0,0) = (1,1,0,0),\quad T(e_2) = (1,1,-1,0),\quad T(e_3) = (1,1,0,0),\quad T(e_4) = (1,0,1,1).
Logo a matriz A de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para achar o polinômio característico calculamos
\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)\,\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 1\\\\ 1 & 1-\lambda & 1\\\\ 0 & -1 & -\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo essa 3\times3 obtém-se
\det(A-\lambda I) = \lambda(\lambda-1)^3.

Passo 4

Os autovalores são as raízes de \lambda(\lambda-1)^3=0, ou seja
\lambda_1 = 0\quad(\text{multiplicidade algébrica }1), \qquad \lambda_2 = 1\quad(\text{multiplicidade algébrica }3).éé

Passo 5

Para \lambda=0\) resolvemos \(A v=0\). O sistema é \[\begin{cases} x+y+z+t = 0,\\\ x+y+z = 0,\\\\ -y+t = 0,\\\ t = 0. \end{cases}
Dessas equações vem t=0,\;y=0,\;z=-x\]. Portanto \[V_{0} = \ker(A) = \bigl\{(s,0,-s,0)\mid s\in\mathbb{R}\bigr\} = \Span\{(1,0,-1,0)\},\] dimensão \(1, igual à multiplicidade algébrica de 0.

Passo 6

Para \lambda=1\) resolvemos \((A-I)v=0\). O sistema é \[\begin{cases} y+z+t = 0,\\\ x+z = 0,\\\\ -y - z + t = 0,\\\\ 0 = 0. \end{cases}
Dessas equações vem x=-z,\;y=-z,\;t=0\]. Logo \[V_{1} = \{(-s,-s,s,0)\mid s\in\mathbb{R}\} = \Span\{(-1,-1,1,0)\},\] dimensão \(1, menor que a multiplicidade algébrica 3.

Passo 7

Como para \lambda=1 a dimensão do autoespaço ( 1) é menor que sua multiplicidade algébrica ( 3), não existem vetores suficientes para diagonalizar T.

Resposta

O polinômio característico é
\chi_{T}(\lambda) = \lambda(\lambda-1)^3.
Os autovalores e autoespaços são
\lambda=0,\quad V_{0} = \Span\{(1,0,-1,0)\}, \qquad \lambda=1,\quad V_{1} = \Span\{(-1,-1,1,0)\}.
Como \dim V_{1}=1<3, T não é diagonalizável.

Exercícios relacionados