[08] Determine o polinômio característico, os autovalores, os subespaços associados (autoespaços) V_{\lambda} da transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} definida como
T(x, y, z, t)=(x+y+z+t, x+y+z,-y+t, t)
Com os dados obtidos anteriormente, concluir se T é diagonalizável ou não.
Queremos obter a matriz de T na base canônica, depois o polinômio característico, os autovalores \lambda, os autovetores (os subespaços associados V_{\lambda}) e, por fim, verificar se T é diagonalizável.
Para \lambda=0\) resolvemos \(A v=0\). O sistema é
\[\begin{cases} x+y+z+t = 0,\\\ x+y+z = 0,\\\\ -y+t = 0,\\\ t = 0. \end{cases}
Dessas equações vem t=0,\;y=0,\;z=-x\]. Portanto
\[V_{0} = \ker(A) = \bigl\{(s,0,-s,0)\mid s\in\mathbb{R}\bigr\} = \Span\{(1,0,-1,0)\},\]
dimensão \(1, igual à multiplicidade algébrica de 0.
Passo 6
Para \lambda=1\) resolvemos \((A-I)v=0\). O sistema é
\[\begin{cases} y+z+t = 0,\\\ x+z = 0,\\\\ -y - z + t = 0,\\\\ 0 = 0. \end{cases}
Dessas equações vem x=-z,\;y=-z,\;t=0\]. Logo
\[V_{1} = \{(-s,-s,s,0)\mid s\in\mathbb{R}\} = \Span\{(-1,-1,1,0)\},\]
dimensão \(1, menor que a multiplicidade algébrica 3.
Passo 7
Como para \lambda=1 a dimensão do autoespaço (1) é menor que sua multiplicidade algébrica (3), não existem vetores suficientes para diagonalizar T.