Sendo V \in \mathbb{R}^{3} um espaço vetorial e
U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y+z=0\right\}, \quad W=[(1,0,1),(0,-1,1)]
dois subespaços em V. Encontre uma base (e dimensão) para U, W, U \cap W e U+W.

Passo 1

O enunciado pede bases e dimensões para os subespaços
\;U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\} e
\;W=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,-1,1)\},
além de U\cap W e U+W. Vamos usar parametrização para U, teste de independência em W, o critério de interseção e a fórmula
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).

Passo 2

Para U, escrevemos
(x,y,z)\in U\iff z=-x-y,
logo
(x,y,z) = x\,(1,0,-1) + y\,(0,1,-1).
Assim \{(1,0,-1),(0,1,-1)\} gera U e seus vetores são independentes.
Portanto
\dim U = 2,\quad \text{base de }U=\{(1,0,-1),(0,1,-1)\}.

Passo 3

Em W temos geradores (1,0,1) e (0,-1,1). Eles não são múltiplos um do outro, logo são independentes e formam uma base.
\dim W = 2,\quad \text{base de }W=\{(1,0,1),(0,-1,1)\}.

Passo 4

Para U\cap W tomamos um vetor genérico de W:
v = a\,(1,0,1) + b\,(0,-1,1) = (a,\,-b,\,a+b).
Exigimos v\in U, ou seja x+y+z=0:
a + (-b) + (a+b) = 2a = 0 \implies a=0.
Logo v = b\,(0,-1,1), e
U\cap W = \operatorname{span}\{(0,-1,1)\},\quad \dim(U\cap W)=1.

Passo 5

Usando a fórmula de dimensões,
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)=2+2-1=3.
Em \mathbb{R}^3 isso significa U+W=\mathbb{R}^3. Uma base pode ser obtida unindo a base de W com algum vetor de U que não pertença a W, por exemplo (1,0,-1). Assim
\text{base de }U+W=\{(1,0,1),(0,-1,1),(1,0,-1)\},\quad \dim(U+W)=3.

Resposta

U: base \{(1,0,-1),(0,1,-1)\}, \dim U=2
W: base \{(1,0,1),(0,-1,1)\}, \dim W=2
U\cap W: base \{(0,-1,1)\}, \dim(U\cap W)=1
U+W: base \{(1,0,1),(0,-1,1),(1,0,-1)\}, \dim(U+W)=3

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