Sendo
um espaço vetorial e
dois subespaços em
. Encontre uma base (e dimensão) para
e
.
Passo 1
O enunciado pede bases e dimensões para os subespaços
e
,
além de e
. Vamos usar parametrização para
, teste de independência em
, o critério de interseção e a fórmula
.
além de
Passo 2
Para
, escrevemos
logo
Assim
gera
e seus vetores são independentes.
Portanto
Portanto
Passo 3
Em
temos geradores
e
. Eles não são múltiplos um do outro, logo são independentes e formam uma base.
Passo 4
Para
tomamos um vetor genérico de
:
Exigimos
, ou seja
:
Logo
, e
Passo 5
Usando a fórmula de dimensões,
Em
isso significa
. Uma base pode ser obtida unindo a base de
com algum vetor de
que não pertença a
, por exemplo
. Assim
Resposta
U: base
,
W: base ,
: base
,
: base
,
W: base