Nos itens a seguir, verifique se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico se a resposta for verdadeira, ou um contra exemplo para mostrar que a afirmação é falsa.
(A-B)² = (B-A)², ∀ A, B ∈ Mₙ(ℝ).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale
(A - B)^2 \;=\;(B - A)^2
para quaisquer matrizes A,B\in M_n(\mathbb{R}). Vamos usar a estrutura de espaço vetorial sobre \mathbb{R} (multiplicação escalar) e a associatividade do produto de matrizes.

Passo 2

Note que
B - A \;=\;-1\cdot(A - B),
pois subtrair A de B é o mesmo que multiplicar (A-B) pelo escalar -1.

Passo 3

Usando associatividade do produto de matrizes e a compatibilidade com multiplicação escalar, temos
(B-A)^2 = \bigl(-1\cdot(A-B)\bigr)\,\bigl(-1\cdot(A-B)\bigr) = (-1)^2\,(A-B)^2 = (A-B)^2.

Passo 4

Como chegamos a (B-A)^2=(A-B)^2 sem impor qualquer condição extra em A e B, a igualdade vale para todas as matrizes em M_n(\mathbb{R}).

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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