Nos itens a seguir, verifique se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico se a resposta for verdadeira, ou um contra exemplo para mostrar que a afirmação é falsa.
(A-B)² = (B-A)², ∀ A, B ∈ Mₙ(ℝ).
(A-B)² = (B-A)², ∀ A, B ∈ Mₙ(ℝ).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se vale
para quaisquer matrizes
. Vamos usar a estrutura de espaço vetorial sobre
(multiplicação escalar) e a associatividade do produto de matrizes.
Passo 2
Note que
pois subtrair
de
é o mesmo que multiplicar
pelo escalar
.
Passo 3
Usando associatividade do produto de matrizes e a compatibilidade com multiplicação escalar, temos
Passo 4
Como chegamos a
sem impor qualquer condição extra em
e
, a igualdade vale para todas as matrizes em
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.