Nos itens a seguir, verifique se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico se a resposta for verdadeira, ou um contra exemplo para mostrar que a afirmação é falsa.
Nunca é verdade que AB = BA.

Passo 1

O enunciado afirma que “nunca é verdade que AB=BA”, ou seja, afirma que matrizes A e B jamais se comutam. Precisamos decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e, em caso de falsidade, apresentar um contra-exemplo.

Passo 2

É fato que, de modo geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, em muitos casos AB\neq BA. No entanto, isso não impede que existam pares de matrizes especiais para os quais a igualdade AB=BA ocorre.

Passo 3

Um exemplo simples de contra-exemplo é usar a matriz identidade I, que comuta com qualquer outra matriz quadrada do mesmo tamanho. Por exemplo, seja
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 4 & 5\end{pmatrix}.
Então
AB = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 4 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 4 & 5\end{pmatrix}
e
BA = \begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 4 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 4 & 5\end{pmatrix}.
Portanto AB=BA, contradizendo a afirmação de que isso “nunca” aconteceria.]

Resposta

A afirmação é falsa.

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