Nos itens a seguir, verifique se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico se a resposta for verdadeira, ou um contra exemplo para mostrar que a afirmação é falsa.
Nunca é verdade que AB = BA.
Nunca é verdade que AB = BA.
Passo 1
O enunciado afirma que “nunca é verdade que
”, ou seja, afirma que matrizes
e
jamais se comutam. Precisamos decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e, em caso de falsidade, apresentar um contra-exemplo.
Passo 2
É fato que, de modo geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, em muitos casos
. No entanto, isso não impede que existam pares de matrizes especiais para os quais a igualdade
ocorre.
Passo 3
Um exemplo simples de contra-exemplo é usar a matriz identidade
, que comuta com qualquer outra matriz quadrada do mesmo tamanho. Por exemplo, seja
Então
e
Portanto
, contradizendo a afirmação de que isso “nunca” aconteceria.]
Resposta
A afirmação é falsa.