Discuta esses sistemas em função do parâmetro m\).
\(\begin{cases}x+4 y-5 z & =0 \\\\ 2 x-y+3 z & =0 \\\\ 3 x+m y+2 z & =0\end{cases}
Passo 1
O sistema é homogêneo em três incógnitas (x,y,z) com parâmetro m. Vamos discutir para quais valores de m ele tem só a solução trivial e para quais ele admite infinitas soluções. Precisaremos calcular o determinante da matriz de coeficientes e, no caso degenerado, resolver o sistema reduzido.
Passo 2
Seja
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -5\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ 3 & m & 2 \end{pmatrix}.
Se m \neq \tfrac{3}{13}, então \det(A)\neq0. Isso implica posto máximo =3 e, sendo o sistema homogêneo, a única solução é a trivial:
(x,y,z)=(0,0,0).
Passo 4
Se m = \tfrac{3}{13}\), então \(\det(A)=0\) e o posto de \(A\) cai para 2 (a terceira equação torna-se combinação linear das duas primeiras). O espaço de soluções tem dimensão \(3-2=1\).
Das duas primeiras equações:
\[\begin{cases} x + 4y -5z =0,\\\\ 2x - y +3z =0, \end{cases}
da primeira vem x=-4y+5z\]. Substituindo na segunda:
\[2(-4y+5z)-y+3z=0\;\Longrightarrow\;-9y+13z=0\;\Longrightarrow\;y=\tfrac{13}{9}z.\]
Logo
\[x=-4\cdot\tfrac{13}{9}z+5z=-\tfrac{7}{9}z.\]
Seja \(z=t. Então