Discuta esses sistemas em função do parâmetro m\). \(\begin{cases}x+4 y-5 z & =0 \\\\ 2 x-y+3 z & =0 \\\\ 3 x+m y+2 z & =0\end{cases}

Passo 1

O sistema é homogêneo em três incógnitas (x,y,z) com parâmetro m. Vamos discutir para quais valores de m ele tem só a solução trivial e para quais ele admite infinitas soluções. Precisaremos calcular o determinante da matriz de coeficientes e, no caso degenerado, resolver o sistema reduzido.

Passo 2

Seja
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -5\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ 3 & m & 2 \end{pmatrix}.
Calculamos
\det(A) =1\cdot\bigl((-1)\cdot2 - 3m\bigr) -4\cdot\bigl(2\cdot2 -3\cdot3\bigr) -5\cdot\bigl(2m +3\bigr) =3 - 13m.

Passo 3

Se m \neq \tfrac{3}{13}, então \det(A)\neq0. Isso implica posto máximo =3 e, sendo o sistema homogêneo, a única solução é a trivial:
(x,y,z)=(0,0,0).

Passo 4

Se m = \tfrac{3}{13}\), então \(\det(A)=0\) e o posto de \(A\) cai para 2 (a terceira equação torna-se combinação linear das duas primeiras). O espaço de soluções tem dimensão \(3-2=1\). Das duas primeiras equações: \[\begin{cases} x + 4y -5z =0,\\\\ 2x - y +3z =0, \end{cases}
da primeira vem x=-4y+5z\]. Substituindo na segunda: \[2(-4y+5z)-y+3z=0\;\Longrightarrow\;-9y+13z=0\;\Longrightarrow\;y=\tfrac{13}{9}z.\] Logo \[x=-4\cdot\tfrac{13}{9}z+5z=-\tfrac{7}{9}z.\] Seja \(z=t. Então
(x,y,z) =\bigl(-\tfrac{7}{9}t,\;\tfrac{13}{9}t,\;t\bigr) =t\bigl(-\tfrac{7}{9},\,\tfrac{13}{9},\,1\bigr) =\lambda(-7,13,9),
onde tomamos \lambda = t/9.

Resposta

Para m\neq \tfrac{3}{13}: única solução trivial (0,0,0).
Para m=\tfrac{3}{13}: infinitas soluções, dada por
(x,y,z)=\lambda(-7,13,9),
com \lambda\in\mathbb{R}.

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