Exercício 14.
Considere B=[ccc2 & -1 & 1 -3 & 4 & -3 -5 & 5 & -4]. Mostre que B e indepotente, isto é, que B^2=B

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que a matriz
B = 2 & -1 & 1 -3 & 4 & -3 -5 & 5 & -4
é idempotente, ou seja, que
B^2 = B
O conteúdo é multiplicação de matrizes e a definição de matriz idempotente.

Passo 2

Pela definição de multiplicação matricial, o elemento (i,j) de B^2 = Bcdot B é dado por
(B^2)ij = sumk=1^3 Bik,Bkj
Vamos calcular cada linha de B^2 e verificar que coincide com a linha correspondente de B.

Passo 3

Primeira linha de B^2: a partir de l[B1*r]=[2,,-1,,1] e as colunas de B:
(B^2)11 &= 2cdot2 + (-1)cdot(-3) + 1cdot(-5) = 4 + 3 - 5 = 2, (B^2)12 &= 2cdot(-1) + (-1)cdot4 + 1cdot5 = -2 - 4 + 5 = -1, (B^2)13 &= 2cdot1 + (-1)cdot(-3) + 1cdot(-4) = 2 + 3 - 4 = 1
Fica [2,,-1,,1], igual à primeira linha de B.

Passo 4

Segunda linha de B^2: usando l[B2*r]=[-3,,4,,-3]:
(B^2)21 &= (-3)cdot2 + 4cdot(-3) + (-3)cdot(-5) = -6 -12 +15 = -3, (B^2)22 &= (-3)cdot(-1) + 4cdot4 + (-3)cdot5 = 3 +16 -15 = 4, (B^2)23 &= (-3)cdot1 + 4cdot(-3) + (-3)cdot(-4) = -3 -12 +12 = -3
Obtemos [-3,,4,,-3], igual à segunda linha de B.

Passo 5

Terceira linha de B^2: usando l[B3*r]=[-5,,5,,-4]:
(B^2)31 &= (-5)cdot2 + 5cdot(-3) + (-4)cdot(-5) = -10 -15 +20 = -5, (B^2)32 &= (-5)cdot(-1) + 5cdot4 + (-4)cdot5 = 5 +20 -20 = 5, (B^2)33 &= (-5)cdot1 + 5cdot(-3) + (-4)cdot(-4) = -5 -15 +16 = -4
Isso dá [-5,,5,,-4], igual à terceira linha de B.

Resposta

Como cada linha de B^2 coincide com a correspondente de B, concluímos que
B^2 = B,
logo B é idempotente.

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