[2.0 Pontos] Considere a equação diferencial
x^{2}(1+x) y^{\prime \prime}+x\left(4-x^{2}\right) y+(2+3 x) y=0
a) (0.5 Pts) Coloque a equação diferencial na forma padrão y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0.
b) (1.5 Pts) O ponto x=0 é um ponto singular regular? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}(1+x)\,y'' \;+\; x\,(4-x^{2})\,y' \;+\;(2+3x)\,y \;=\;0
e pede:
1. escrever na forma padrão
y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = 0
2. verificar se x=0 é um ponto singular regular, usando o critério de que xP(x) e x^{2}Q(x) devem ser analíticos em x=0.

Passo 2

Dividimos toda a equação por x^{2}(1+x), obtendo
y'' + \underbrace{\frac{x\,(4-x^{2})}{x^{2}(1+x)}}_{P(x)}\,y' + \underbrace{\frac{2+3x}{x^{2}(1+x)}}_{Q(x)}\,y = 0.
Logo,
P(x) = \frac{4 - x^{2}}{x\,(1+x)}, \quad Q(x) = \frac{2 + 3x}{x^{2}(1+x)}.

Passo 3

Os pontos singulares são as raízes do coeficiente de y'', ou seja x=0 e x=-1.
Para que x=0 seja um ponto singular regular, é preciso que
x\,P(x)\quad\text{e}\quad x^{2}\,Q(x)
sejam funções analíticas (sem pólos) em x=0.

Passo 4

Calculamos
x\,P(x) = x\;\frac{4 - x^{2}}{x\,(1+x)} = \frac{4 - x^{2}}{1+x},
x^{2}\,Q(x) = x^{2}\;\frac{2 + 3x}{x^{2}(1+x)} = \frac{2 + 3x}{1+x}.
Ambas são racionais sem denominador nulo em x=0, logo analíticas em x=0. Portanto x=0 é um ponto singular regular.

Resposta

a)
P(x) = \frac{4 - x^{2}}{x\,(1+x)}, \quad Q(x) = \frac{2 + 3x}{x^{2}(1+x)}.
b) Sim. Como
x\,P(x)=\frac{4 - x^{2}}{1+x}, \quad x^{2}\,Q(x)=\frac{2 + 3x}{1+x}
são analíticas em x=0, concluímos que x=0 é ponto singular regular.

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