(q.695/p.248) Uma bola de ouro de raio r se funde, transformando-se em um cilindro de raio r. Determine a altura do cilindro.

Passo 1

O enunciado dá uma bola de ouro de raio r que se funde, transformando-se em um cilindro de mesmo raio r. Pergunta-se qual é a altura h do cilindro. O conteúdo aqui é conservação de volume e fórmulas de volume de sólidos.

Passo 2

Escrevemos o volume da esfera de raio r. A fórmula do volume de uma esfera é
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^3.

Passo 3

Escrevemos o volume do cilindro de raio r e altura h. A fórmula do volume do cilindro é
V_{\text{cilindro}} = \pi r^2 h.

Passo 4

Como a massa de ouro (e portanto o volume) se conserva ao fundir, igualamos os volumes:
\pi r^2 h = \frac{4}{3}\pi r^3.
Podemos simplificar \pi e r^2 em ambos os lados.

Passo 5

Isolando h, obtemos
h = \frac{\tfrac{4}{3}\pi r^3}{\pi r^2} = \frac{4}{3}\,r.

Resposta

A altura do cilindro é
h = \frac{4}{3}\,r.

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