[09] Se um número natural N tem a seguinte decomposição em fatores primos N=2^a cdot 7^b cdot 11^c onde a+b+c=10. Qual será o máximo número de divisores que tem N ? Qual será o número N onde o anterior acontece?

Passo 1

O enunciado diz que
N = 2^acdot 7^bcdot 11^c
com a,b,c>=0 inteiros e
a+b+c = 10
Queremos maximizar o número de divisores de N, que se calcula por
tau(N) = (a+1)(b+1)(c+1)

Passo 2

Note que x=a+1, y=b+1, z=c+1 são inteiros >=1 e
x+y+z = (a+b+c)+3 = 13
Logo queremos maximizar o produto
xyz
sob a restrição x+y+z=13.

Passo 3

Para somas fixas, o produto de números positivos é máximo quando eles estão o mais “equilibrados” possível. Como 13/3approx4,33, tentamos os inteiros em volta:
(4,4,5)Rightarrow 4cdot4cdot5 = 80
Testando outras opções (por exemplo (3,5,5) 75, (3,4,6) 72), confirmamos que (4,4,5) é a melhor.

Passo 4

Voltando às exposições originais,
(a+1,b+1,c+1) = (4,4,5)
ou seja, a,b,c = 3,3,4 em alguma ordem. Então o número máximo de divisores é
tau(N)max = 80

Passo 5

Se quisermos um N específico (por exemplo o menor possível), convém atribuir o maior expoente ao menor primo. Assim escolhemos
a=4, b=3, c=3,
isto é
N = 2^4cdot7^3cdot11^3
Em valor decimal,
N = 16 times 343 times 1331 = 7,304,528

Resposta

O máximo número de divisores é 80, obtido quando (a,b,c)=(4,3,3), ou seja
N = 2^4cdot7^3cdot11^3 = 7,304,528

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