[09] Se um número natural
tem a seguinte decomposição em fatores primos
onde
. Qual será o máximo número de divisores que tem
? Qual será o número
onde o anterior acontece?
Passo 1
O enunciado diz que
com
inteiros e
Queremos maximizar o número de divisores de
, que se calcula por
Passo 2
Note que
,
,
são inteiros
e
Logo queremos maximizar o produto
sob a restrição
.
Passo 3
Para somas fixas, o produto de números positivos é máximo quando eles estão o mais “equilibrados” possível. Como
, tentamos os inteiros em volta:
Testando outras opções (por exemplo
dá
,
dá
), confirmamos que
é a melhor.
Passo 4
Voltando às exposições originais,
ou seja,
em alguma ordem. Então o número máximo de divisores é
Passo 5
Se quisermos um
específico (por exemplo o menor possível), convém atribuir o maior expoente ao menor primo. Assim escolhemos
isto é
Em valor decimal,
Resposta
O máximo número de divisores é
, obtido quando
, ou seja