Tarefa 3. Dado os sistemas de equações lineares
(I) (II) cx+2 y+3 z=17 -5 x-y+4 z=-2 2 x+4 y+z=24
a) Resolva o S.E.L. pelo método Gauss.
b) Resolva o S.E.L. pelos métodos de Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi para três iterações e calcule o erro. Analise a convergência
c) Comparar os resultados e justificar sua resposta.
Passo 1
O enunciado apresenta dois sistemas lineares
(I) 5x + y + z = 2, x + 4y + z = 2, x + y + 3z = 2, (II) x + 2y + 3z = 17, -5x - y + 4z = -2, 2x + 4y + z = 24,
e pede a) solução exata por eliminação de Gauss; b) três iterações de Gauss–Jacobi e de Gauss–Seidel com erro e análise de convergência; c) comparação dos resultados. Vamos usar eliminação de Gauss para obter a solução exata e depois derivar as fórmulas iterativas, verificar dominância diagonal para concluir sobre convergência.
O sistema (I) é estritamente diagonalmente dominante ( 5>1+1, 4>1+1, 3>1+1 ), logo ambos os métodos iterativos convergem. Gauss–Seidel converge mais rápido que Jacobi, como se vê pelos erros.
Passo 8
Em (II) as fórmulas Jacobi são
x = 17 - 2y -3z, y = 2 -5x +4z, z = 24 -2x -4y,
com chute (0,0,0). As primeiras três iterações Jacobi são
(x,y,z) = (17,2,24),;(-59,13,-18),;(45,225,90),
e para Gauss–Seidel
(x,y,z)=(17,-83,322),;(-783,5205,-19230),ldots
os valores crescem em módulo, indicando divergência.
Passo 9
O sistema (II) não é diagonalmente dominante (por exemplo 1<2+3), e as iterações divergem. Portanto os métodos iterativos não convergem para a solução exata.
Passo 10
Comparando: a eliminação de Gauss fornece exatamente (0,24,0,32,0,48) para (I) e (1,5,2) para (II). Os métodos iterativos em (I) convergem (Seidel mais rápido), mas em (II) divergem devido à falta de dominância diagonal.
Resposta
a)
Para (I): (x,y,z)=(0,24,;0,32,;0,48).
Para (II): (x,y,z)=(1,;5,;2).
b)
Em (I), com chute (0,0,0):
Gauss–Jacobi em 3 iterações: (0,28,0,36667,0,53333) com erro 0,05333.
Gauss–Seidel em 3 iterações: (0,23733,0,32233,0,48011) com erro 0,00267.
Em (II), ambas as sequências iterativas divergem.
c)
Em (I) há convergência pelos métodos iterativos graças à dominância diagonal; Gauss–Seidel é mais rápido que Jacobi. Em (II) não há dominância e as iterações divergem, restando apenas a solução exata via eliminação de Gauss.