Tarefa n^circ 3. Dado os sistemas de equações lineares
(I) l5 x+y+z=2 x+4 y+z=2 x+y+3 z=2 (II) cx+2 y+3 z=17 -5 x-y+4 z=-2 2 x+4 y+z=24
a) Resolva o S.E.L. pelo método Gauss.
b) Resolva o S.E.L. pelos métodos de Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi para três iterações e calcule o erro. Analise a convergência
c) Comparar os resultados e justificar sua resposta.

Passo 1

O enunciado apresenta dois sistemas lineares
(I) 5x + y + z = 2, x + 4y + z = 2, x + y + 3z = 2, (II) x + 2y + 3z = 17, -5x - y + 4z = -2, 2x + 4y + z = 24,
e pede a) solução exata por eliminação de Gauss; b) três iterações de Gauss–Jacobi e de Gauss–Seidel com erro e análise de convergência; c) comparação dos resultados. Vamos usar eliminação de Gauss para obter a solução exata e depois derivar as fórmulas iterativas, verificar dominância diagonal para concluir sobre convergência.

Passo 2

Para o sistema (I) montamos a matriz aumentada
[ccc|c 5 & 1 & 1 & 2 1 & 4 & 1 & 2 1 & 1 & 3 & 2 ]
Eliminando abaixo de a11 e depois de a22 obtemos a forma triangular
[ccc|c 5 & 1 & 1 & 2 0 & 3,8 & 0,8 & 1,6 0 & 0 & 2,63158 & 1,26316 ]
Por substituição regressiva:
z = 1,263162,63158 = 0,48, y = 1,6 - 0,8 cdot 0,483,8 = 0,32, x = 2 - 0,32 - 0,485 = 0,24

Passo 3

Para o sistema (II) a matriz aumentada é
[ccc|c 1 & 2 & 3 & 17 -5 & -1 & 4 & -2 2 & 4 & 1 & 24 ]
Fazendo R2 R2+5R1 e R3 R3-2R1, seguimos eliminação e obtemos
[ccc|c 1 & 2 & 3 & 17 0 & 9 & 19 & 83 0 & 0 & -5 & -10 ]
Daí
z = 2, y = 83 - 19cdot 29 = 5, x = 17 - 2cdot 5 - 3cdot 2 = 1

Passo 4

Para aplicar Gauss–Jacobi em (I) isolamos cada incógnita em termos das outras:
x = 15(2 - y - z), y = 14(2 - x - z), z = 13(2 - x - y)
Tomamos (x^(0),y^(0),z^(0))=(0,0,0).

Passo 5

Iterações de Gauss–Jacobi para (I):
(x^(1),y^(1),z^(1)) &= (0,4,;0,5,;0,66667), (x^(2),y^(2),z^(2)) &= (0,16667,;0,23333,;0,36667), (x^(3),y^(3),z^(3)) &= (0,28,;0,36667,;0,53333)
O erro em norma infinito na 3ª iteração é
max|0,28-0,24|,;|0,36667-0,32|,;|0,53333-0,48| =0,05333

Passo 6

Para Gauss–Seidel em (I) usamos imediatamente valores novos:
(x^(1),y^(1),z^(1)) &= (0,4,;0,4,;0,4), (x^(2),y^(2),z^(2)) &= (0,24,;0,34,;0,47333), (x^(3),y^(3),z^(3)) &= (0,23733,;0,32233,;0,48011)
O erro em norma infinito na 3ª iteração é
max|0,23733-0,24|,;|0,32233-0,32|,;|0,48011-0,48| =0,00267

Passo 7

O sistema (I) é estritamente diagonalmente dominante ( 5>1+1, 4>1+1, 3>1+1 ), logo ambos os métodos iterativos convergem. Gauss–Seidel converge mais rápido que Jacobi, como se vê pelos erros.

Passo 8

Em (II) as fórmulas Jacobi são
x = 17 - 2y -3z, y = 2 -5x +4z, z = 24 -2x -4y,
com chute (0,0,0). As primeiras três iterações Jacobi são
(x,y,z) = (17,2,24),;(-59,13,-18),;(45,225,90),
e para Gauss–Seidel
(x,y,z)=(17,-83,322),;(-783,5205,-19230),ldots
os valores crescem em módulo, indicando divergência.

Passo 9

O sistema (II) não é diagonalmente dominante (por exemplo 1<2+3), e as iterações divergem. Portanto os métodos iterativos não convergem para a solução exata.

Passo 10

Comparando: a eliminação de Gauss fornece exatamente (0,24,0,32,0,48) para (I) e (1,5,2) para (II). Os métodos iterativos em (I) convergem (Seidel mais rápido), mas em (II) divergem devido à falta de dominância diagonal.

Resposta

a)
Para (I): (x,y,z)=(0,24,;0,32,;0,48).
Para (II): (x,y,z)=(1,;5,;2).
b)
Em (I), com chute (0,0,0):
Gauss–Jacobi em 3 iterações: (0,28,0,36667,0,53333) com erro 0,05333.
Gauss–Seidel em 3 iterações: (0,23733,0,32233,0,48011) com erro 0,00267.
Em (II), ambas as sequências iterativas divergem.
c)
Em (I) há convergência pelos métodos iterativos graças à dominância diagonal; Gauss–Seidel é mais rápido que Jacobi. Em (II) não há dominância e as iterações divergem, restando apenas a solução exata via eliminação de Gauss.

Exercícios relacionados