(a) Use substituição trigonométrica para mostrar que
integral d xraizx^2+a^2=ln (x+raizx^2+a^2)+C
(b) Use a substituição hiperbólica x=a senh t para mostrar que
integral d xraizx^2+a^2=senh^-1(xa)+C
Essas fórmulas estão interligadas pela Fórmula 3.11.3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral dxraizx^2 + a^2
usando duas estratégias:
– em (a) uma substituição trigonométrica;
– em (b) uma substituição hiperbólica.
O conteúdo envolve técnicas de mudança de variável para transformar a raiz quadrada em expressões mais simples.

Passo 2

Para (a), fazemos a substituição trigonométrica
x = atantheta, dx = asec^2theta,dtheta
Então
raizx^2 + a^2 = raiza^2tan^2theta + a^2 = araiztan^2theta +1 = asectheta
A integral original passa a ser
integral dxraizx^2 + a^2 = integral asec^2theta,dthetaasectheta = integral sectheta,dtheta
Sabemos que
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C
Voltando a x:
sectheta = raizx^2 + a^2a, tantheta = xa,
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lnl|sectheta + tanthetar| = ln!l|raizx^2 + a^2a + xar| = ln!l|x + raizx^2 + a^2r| - ln|a|
Incorporando -ln|a| na constante, obtemos
integral dxraizx^2 + a^2 = lnl(x + raizx^2 + a^2r) + C

Passo 3

Para (b), usamos a substituição hiperbólica
x = a,sinh t, dx = a,cosh t,dt
Então
raizx^2 + a^2 = raiza^2sinh^2 t + a^2 = araizsinh^2 t +1 = acosh t
A integral vira
integral dxraizx^2 + a^2 = integral acosh t,dtacosh t = integral dt = t + C
Como t = arsinh!l(tfracxar), concluímos
integral dxraizx^2 + a^2 = arsinh!l(xar) + C

Passo 4

As duas expressões estão ligadas pela identidade da função inversa hiperbólica
arsinh y = lnl(y + raizy^2 +1r)
Tomando y = x/a, temos
arsinh!l(xar) = ln!l(xa + raizx^2a^2 +1r) = ln!l(x + raizx^2 + a^2ar) = lnl(x + raizx^2 + a^2r) - ln a,
e a diferença -ln a pode ser absorvida na constante de integração.

Resposta

(a) integral dxraizx^2 + a^2 = lnl(x + raizx^2 + a^2r) + C
(b) integral dxraizx^2 + a^2 = arsinh!l(xar) + C

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