10- Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo O
(b) f(x, y)=x e^-y, P(0,4), theta=2 pi3

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x e^-y no ponto P(0,4) na direção definida pelo ângulo theta=tfrac2pi3. Vamos usar que
D uf(P)=nabla f(P)cdot u,
onde nabla f é o gradiente de f e u é o vetor unitário na direção de theta.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f. As derivadas parciais são
partial fpartial x=e^-y, partial fpartial y=-x e^-y
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nabla f(x,y)=l(e^-y,,-x e^-yr)

Passo 3

Avaliar o gradiente em P(0,4):
nabla f(0,4)=l(e^-4,,-0cdot e^-4r)=(e^-4,0)

Passo 4

O vetor unitário na direção theta=tfrac2pi3 é
u=(costfrac2pi3,,sintfrac2pi3) =l(-tfrac12,;tfracraiz32r)

Passo 5

A derivada direcional é o produto interno
D uf(0,4) =nabla f(0,4)cdot u =e^-4l(-tfrac12r)+0cdottfracraiz32 =-tfrac12,e^-4

Resposta

D uf(0,4)=-tfrac12,e^-4

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