09- Utilize a regra da Cadeia para determinar d zd t nos seguintes casos:
(d) z=cos (3 x+5 y), x=7 t^3, y=3 t^7

Passo 1

O enunciado dá
z=cos(3x+5y), x=7t^3, y=3t^7
e pede dfracdzdt. O conteúdo é a regra da cadeia para funções de duas variáveis, onde
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como z=cos(u) com u=3x+5y, temos
partial zpartial x = -sin(3x+5y)cdot 3 = -3,sin(3x+5y),
partial zpartial y = -sin(3x+5y)cdot 5 = -5,sin(3x+5y)

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a t:
dxdt = ddt(7t^3) =21,t^2, dydt = ddt(3t^7) =21,t^6

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt = -3sin(3x+5y)cdot21t^2 -5sin(3x+5y)cdot21t^6
Fatorando 21sin(3x+5y):
dzdt = -21,sin(3x+5y)l(3t^2+5t^6r)

Passo 5

Por fim, substituímos 3x+5y=3cdot7t^3+5cdot3t^7=21t^3+15t^7:
dzdt = -21l(3t^2+5t^6r), sinl(21t^3+15t^7r)

Resposta

dzdt = -21,(3t^2+5t^6);sinl(21t^3+15t^7r)

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