Use fraûÏûçes parciais para determinar as seguintes integrais.
integral rac11 x+22 x^2-5 x-3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 11x+22x^2 -5x -3 , dx
usando frações parciais. Esse tipo de integral requer fatorar o denominador, decompor a fração racional em termos simples e então integrar funções do tipo 1/(ax+b).

Passo 2

Buscamos as raízes de ,2x^2 -5x -3 resolvendo
2x^2 -5x -3 = 0,
cuja fórmula quadrática dá x = tfrac5 pm raiz25 +244, ou seja x=3 e x=-tfrac12. Logo
2x^2 -5x -3 = (x-3)(2x+1)

Passo 3

Decompomos
11x+2(x-3)(2x+1) = Ax-3 + B2x+1
Multiplicando em ambos os lados por (x-3)(2x+1) obtemos
11x+2 = A(2x+1) + B(x-3) = (2A+B)x + (A-3B)
Igualando coeficientes segue
2A + B = 11, A - 3B = 2
Dessa forma A=5 e B=1.

Passo 4

Substituindo na integral, vem
integral 11x+22x^2 -5x -3 , dx = 5 integral dxx-3 + integral dx2x+1
Usando integral dxx-3 = lnlvert x-3rvert e integral dx2x+1 = tfrac12 lnlvert 2x+1rvert, concluímos
5 lnlvert x-3rvert + 12 lnlvert 2x+1rvert + C

Resposta

5 lnlvert x-3rvert + 12 lnlvert 2x+1rvert + C

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