12- Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre:
(e)
Passo 1
O enunciado pede a taxa de variação máxima de no ponto e a direção em que isso ocorre. Para resolver, vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
A teoria diz que a maior taxa de variação de uma função de várias variáveis num ponto é o módulo do gradiente nesse ponto, e a direção em que isso ocorre é a direção do próprio gradiente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de . Usando regra da cadeia, temos
Passo 4
Agora avaliamos essas derivadas no ponto . Note que e . Logo,
Passo 5
O vetor gradiente em (1,2) fica
nabla f(1,2)=l(tfrac25,,tfrac15r)
Passo 6
A taxa de variação máxima é o módulo de nabla f(1,2) e a direção é o vetor unitário na direção de nabla f(1,2). Calculamos: