12- Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre:
(e) f(x, y)=arctg(x y),(1,2)

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação máxima de f(x,y)=arctg(xy) no ponto (1,2) e a direção em que isso ocorre. Para resolver, vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

A teoria diz que a maior taxa de variação de uma função de várias variáveis num ponto é o módulo do gradiente nesse ponto, e a direção em que isso ocorre é a direção do próprio gradiente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=arctg(xy). Usando regra da cadeia, temos
partial fpartial x=11+(xy)^2cdot y,partial fpartial y=11+(xy)^2cdot x

Passo 4

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (1,2). Note que xy=1cdot2=2 e 1+(xy)^2=1+4=5. Logo,
partial fpartial x|(1,2)=25,partial fpartial y|(1,2)=15

Passo 5

O vetor gradiente em (1,2) fica
nabla f(1,2)=l(tfrac25,,tfrac15r)

Passo 6

A taxa de variação máxima é o módulo de nabla f(1,2) e a direção é o vetor unitário na direção de nabla f(1,2). Calculamos:
|nabla f(1,2)|=raizl(tfrac25r)^2+l(tfrac15r)^2=raiz55, versor =1|nabla f(1,2)|nabla f(1,2)=l(tfrac2raiz5,,tfrac1raiz5r)

Resposta

A taxa de variação máxima é dfracraiz55 e ocorre na direção do vetor unitário l(tfrac2raiz5,tfrac1raiz5r).

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