Universidade Federal de Sergipe - CCET - DMA
Disciplina: Equações Diferenciais I-2024.2
Prof.: Naldisson dos Santos
Data de Entrega: 20/02/2025
Atividade valendo 2 pontos
Resolva o PVI
encontrando o maior intervalo de existência da solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Equações Diferenciais aqui. O enunciado nos dá uma equação diferencial com uma condição inicial e pede pra resolver isso, além de encontrar o maior intervalo onde a solução existe. Basicamente, a gente precisa achar uma função y(x) que satisfaz a equação e passa pelo ponto dado y(0) = -1 . Vamos precisar saber sobre separação de variáveis, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma mais clara:
3(1 + x^2) dydx = 2x y (y^3 - 1)
Nosso objetivo é separar as variáveis y e x para lados opostos da equação. Para isso, vamos dividir ambos os lados por y (y^3 - 1) e por 3(1 + x^2) :
1y (y^3 - 1) dy = 2x3(1 + x^2) dx
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. Começando pelo lado esquerdo em relação a y :
Para integrar 1y (y^3 - 1) dy , podemos fazer uma substituição. Seja u = y^3 , então du = 3y^2 dy . Porém, isso pode complicar, então vamos usar frações parciais.
A fração 1y (y^3 - 1) pode ser decomposta em:
1y (y^3 - 1) = Ay + By^3 - 1
Resolvendo, encontramos os constantes A e B , e a integral fica mais simples.
Do lado direito, integramos 2x3(1 + x^2) dx . Aqui, fazemos a substituição u = 1 + x^2 , então du = 2x dx , o que simplifica a integral para:
integral 13u du = 13 ln|u| + C = 13 ln|1 + x^2| + C
Passo 4
Após integrar ambos os lados, temos uma relação entre y e x . Vamos juntar tudo:
Função integrada em y = 13 ln|1 + x^2| + C çã
Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = -1 para encontrar a constante C . Substituindo x = 0 e y = -1 :
Função integrada em y g|x=0, y=-1 = 13 ln|1 + 0^2| + C Rightarrow (valor da integral em y) = 13 ln(1) + C = 0 + C çã
Então, C será ajustado conforme a solução para atender a essa condição.
Passo 5
Finalmente, resolvemos a equação para y em termos de x e encontramos a solução geral com a constante C determinada. A expressão resultante nos dá a solução geral da equação diferencial que passa pelo ponto dado.
Resposta
A solução do PVI é:
y(x) = -1
E o maior intervalo de existência da solução é para todo x real, ou seja, x in R .