(2,0pt) Ar com massa específica de 1,22 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e viscosidade cinemática de 1,46 \mathrm{E}-5 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} é forçado a atravessar um duto horizontal quadrado de 30 m de comprimento e 229 mm de aresta, a uma vazão de 0,708 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Determine a queda de pressão e a perda de pressão para o caso do duto apresentar rugosidade de 0,091 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado descreve ar com \rho=1{,}22\\ \mathrm{kg/m^3} e \nu=1{,}46\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s} escoando em regime forçado por um duto horizontal quadrado de comprimento L=30\\ \mathrm{m} e aresta a=229\\ \mathrm{mm}, com vazão Q=0{,}708\\ \mathrm{m^3/s}. Queremos a queda de pressão \Delta p e a perda de carga h_L sabendo que a rugosidade absoluta é \epsilon=0{,}091\\ \mathrm{mm}. O conteúdo usado inclui: cálculo de área e diâmetro hidráulico, número de Reynolds, fator de atrito de Darcy–Weisbach via fórmula explícita de Swamee–Jain, e aplicação de \Delta p=f\,(L/D_h)\,(\rho v^2/2).

Passo 2

Calcular a área da seção e o diâmetro hidráulico.
A aresta em metro é
a=0{,}229\\ \mathrm{m}.
A área da seção é
A = a^2 = (0{,}229)^2 = 0{,}0524\\ \mathrm{m^2}.
O perímetro molhado é P=4a, logo o diâmetro hidráulico é
D_h = \frac{4A}{P} = \frac{4a^2}{4a}=a=0{,}229\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Determinar a velocidade média e o número de Reynolds.
A velocidade é
v = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}708}{0{,}0524} = 13{,}51\\ \mathrm{m/s}.
O número de Reynolds vale
\mathrm{Re} = \frac{v\,D_h}{\nu} = \frac{13{,}51\times0{,}229}{1{,}46\times10^{-5}} \approx 2{,}12\times10^5,
confirmando regime turbulento.

Passo 4

Calcular o fator de atrito f pela fórmula de Swamee–Jain para escoamento turbulento em tubos rugosos:
f = 0{,}25\Biggl[\log_{10}\Bigl(\frac{\epsilon}{3{,}7\,D_h} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\Bigr)\Biggr]^{-2}.
Aqui \epsilon/D_h = \dfrac{9{,}1\times10^{-5}}{0{,}229}\approx3{,}97\times10^{-4} e \mathrm{Re}^{0,9}\approx6{,}26\times10^4.
Então
f = 0{,}25\bigl[\log_{10}(1{,}07\times10^{-4} + 9{,}17\times10^{-5})\bigr]^{-2} \approx0{,}0183.

Passo 5

Aplicar Darcy–Weisbach para obter \Delta p e, em seguida, h_L:
\Delta p = f\,\frac{L}{D_h}\,\frac{\rho\,v^2}{2} =0{,}0183\;\frac{30}{0{,}229}\;\frac{1{,}22\times(13{,}51)^2}{2} \approx267\\ \mathrm{Pa}.
A perda de carga em metros de coluna de fluido é
h_L = \frac{\Delta p}{\rho\,g} =\frac{267}{1{,}22\times9{,}81}\approx22{,}3\\ \mathrm{m}.

Resposta

\displaystyle \Delta p\approx267\\ \mathrm{Pa},\quad h_L\approx22{,}3\\ \mathrm{m}.

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