(5,0 pt) Água escoa entre dois reservatórios através de um sistema de bombeamento composto por uma tubulação ( 122 m de comprimento, diâmetro interno de 2 pol) e diversos acessórios ( uma entrada em canto vivo ( \mathrm{k}=0,5 ), uma válvula globo ( \mathrm{k}=6,9 ), uma válvula gaveta ( \mathrm{k}=3,7 ), uma curva ( \mathrm{k}=0,25 ), um cotovelo de 90^{\circ}(0,95), uma saída em canto vivo ( k=1,0 )). Para os dados abaixo especificados, pede-se calcular a potência requerida pela bomba em hp.
Dados: Viscosidade cinemática =1,02 \mathrm{E}-6 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}; Rugosidade relativa =0,001; Diferença entre as lâminas de fluido nos reservatórios =30,5 \mathrm{~m}; Vazão volumétrica =5,6 \mathrm{~L} / \mathrm{s}; Massa específica do fluido =1.000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado descreve escoamento de água entre dois reservatórios com desnível de \,30,5\rm\,m através de tubo de 122\rm\,m e diâmetro interno de 2\rm\,pol, além de seis acessórios com coeficientes de perda k. Pede-se a potência da bomba em cavalo‐vapor \rm hp. Para resolver, vamos calcular: (a) velocidade de escoamento e número de Reynolds; (b) fator de atrito de Darcy–Weisbach; (c) perdas de carga maior e menor; (d) carga total a vencer; (e) potência hidráulica e conversão para \rm hp.

Passo 2

Primeiro convertemos unidades e determinamos a velocidade média e o regime de escoamento.
Diâmetro interno:
D = 2\\ \rm pol \times 0{,}0254\\ \frac{m}{pol} = 0{,}0508\\ m.
Vazão volumétrica:
Q = 5{,}6\\ L/s = 5{,}6\times10^{-3}\\ m^3/s.
Área da seção transversal:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}0508)^2}{4}\approx0{,}00203\\ m^2.
Velocidade média:
v = \frac{Q}{A}\approx\frac{5{,}6\times10^{-3}}{0{,}00203}\approx2{,}76\\ m/s.
Número de Reynolds:
Re = \frac{v\,D}{\nu} = \frac{2{,}76\times0{,}0508}{1{,}02\times10^{-6}} \approx1{,}38\times10^{5},
logo o escoamento é turbulento.

Passo 3

Usamos a fórmula de Swamee–Jain para fator de atrito f em escoamento turbulento em tubulação rugosa:
f = 0{,}25\biggl[\log_{10}\Bigl(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7} + \frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\Bigr)\biggr]^{-2}.
Como \varepsilon/D=0{,}001, substituindo
f \approx0{,}25\bigl[\log_{10}(0{,}001/3{,}7 + 5{,}74/(1{,}38\times10^5)^{0.9})\bigr]^{-2} \approx0{,}0217.

Passo 4

A perda de carga “maior” (por atrito ao longo dos 122\rm\,m) é dada por
h_{f,\text{maior}} = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g} =0{,}0217\times\frac{122}{0{,}0508}\times\frac{(2{,}76)^2}{2\times9{,}81} \approx20{,}5\\ m.

Passo 5

A perda de carga “menor” (soma das seis perdas localizadas) é
\sum k = 0{,}5 + 6{,}9 + 3{,}7 + 0{,}25 + 0{,}95 + 1{,}0 = 13{,}3,
h_{f,\text{menor}} = \sum k\;\frac{v^2}{2g} =13{,}3\times\frac{(2{,}76)^2}{2\times9{,}81} \approx5{,}18\\ m.

Passo 6

A cabeça total que a bomba deve vencer é a soma da carga estática com as perdas de carga:
H_{\text{total}} =30{,}5 + 20{,}5 + 5{,}18 \approx56{,}2\\ m.

Passo 7

A potência hidráulica exigida, desprezando-se eficiência, é
P = \rho\,g\,Q\,H_{\text{total}} =1000\times9{,}81\times5{,}6\times10^{-3}\times56{,}2 \approx3086\\ W.
Convertendo para \rm hp 1\rm\,hp=745,7\\ W:
P_{\rm hp} = \frac{3086}{745{,}7}\approx4{,}14\\ hp.

Resposta

Potência requerida pela bomba \approx4{,}14\\ \rm hp.

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