(1.0pt) Uma piscina que possui inicialmente (em t=0 ) 10 litros de solução estabilizadora, nela dissolvida, recebe mais dessa solução por meio de um dosador automático, a uma vazão v(t)=2 t^1 / 3 (litros / min ) por t=8 minutos. Sobre a quantidade total q(8) de solução estabilizadora dissolvida na piscina, é correto:
( ) q(8)=34 litros
( ) q(8)=24 litros
( ) q(8)=32 litros
( ) q(8)=42 litros
( ) nenhuma das demais alternativas está correta

Passo 1

A questão apresenta uma piscina que, em t=0, já tem 10 litros de solução estabilizadora dissolvidos e recebe, por 8 minutos, mais solução a uma vazão variável v(t)=2 t^{1/3} litros/min. O conteúdo é cálculo de quantidade acumulada a partir de uma taxa variável, ou seja, integração de v(t) de 0 a 8 para encontrar o volume adicionado e depois somar ao volume inicial.

Passo 2

Para achar o volume total adicionado, usamos que vazão é taxa de variação do volume. Então a quantidade adicionada Q_add é dada por
Qadd=integral0^8v(t),dt=integral0^82,t^1/3,dt

Passo 3

Aplicando a regra de potência para integrar t^{1/3}:
integral t^1/3,dt=t^1/3+11/3+1=t^4/34/3=34,t^4/3
Logo,
integral0^82,t^1/3,dt=2cdot34,t^4/3|0^8=32,t^4/3|0^8

Passo 4

Agora avaliamos em t=8:
32,8^4/3=32times(8^1/3)^4=32times2^4=32times16=24 litros
Isso é o volume adicionado nos 8 minutos.

Passo 5

Por fim, somamos ao volume inicial de 10 litros:
q(8)=10+24=34 litros

Resposta

q(8)=34 litros

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