Resolva os sistemas reduzindo à forma escalonada reduzida e confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
lx+y+z=4 2 x+5 y-2 z=3

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de duas equações lineares com três incógnitas x,y,z. O conteúdo é resolução de sistemas via eliminação de Gauss–Jordan e aplicação do Teorema de Rouché–Capelli. Vamos montar a matriz aumentada, escalonar até a forma escalonada reduzida e verificar o posto para confirmar consistência e grau de liberdade da solução.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada do sistema:
[

Passo 3

Eliminamos o elemento abaixo do pivô na primeira coluna aplicando L2 L2 - 2L1:
[

Passo 4

Escalonamos a segunda linha para obter um pivô unitário em a22, fazendo L2 tfrac13L2:
[

Passo 5

Eliminamos o elemento acima do pivô em a12 aplicando L1 L1 - L2:
[

Passo 6

Agora estamos na forma escalonada reduzida. As variáveis principais são x e y e z é livre. Das equações obtemos:
x = tfrac173 - tfrac73z,
y = -tfrac53 + tfrac43z,
Logo
z = tinR

Passo 7

Pelo Teorema de Rouché–Capelli, o posto da matriz de coeficientes é 2 e o posto da matriz aumentada também é 2. Como o número de incógnitas é 3, o sistema é consistente e tem dimensão de solução 3 - 2 = 1, ou seja, uma família de soluções dependente de um parâmetro.

Resposta

O conjunto solução é
l(x,y,z)=l(tfrac17-7t3,,tfrac-5+4t3,,tr) : tinRr

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