Resolva os sistemas reduzindo à forma escalonada reduzida e confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
lx1+3 x2+2 x3+3 x4-7 x5=14 2 x1+6 x2+x3-2 x4+5 x5=-2 x1+3 x2-x3+x5=-1

Passo 1

Temos o sistema a ser resolvido:
l x1+3x2+2x3+3x4-7x5=14 2x1+6x2+x3-2x4+5x5=-2 x1+3x2-x3+x5=-1
O objetivo é usar eliminação de Gauss para obter a forma escalonada reduzida e então aplicar o Teorema de Rouché-Capelli para checar a consistência do sistema.

Passo 2

Começo escrevendo a matriz aumentada do sistema para aplicar operações de linha:
[ccccc|c 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14 2 & 6 & 1 & -2 & 5 & -2 1 & 3 & -1 & 0 & 1 & -1 ]

Passo 3

Uso operações elementares para zerar a coluna de x1 abaixo do primeiro pivô:
R2 to R2 - 2R1
R3 to R3 - R1
Isso leva à matriz:
[ccccc|c 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & -30 0 & 0 & -3 & -3 & 8 & -15 ]

Passo 4

Em seguida, combino as linhas 2 e 3 para isolar o pivô da terceira coluna e crio pivô na quarta coluna:
R2 to R2 - R3
Depois troco R2 e R3 para ter os pivôs em ordem e divido cada linha pelo coeficiente do pivô. Assim, obtenho:
[ccccc|c 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14 0 & 0 & 1 & 1 & -tfrac83 & 5 0 & 0 & 0 & 1 & -tfrac115 & 3 ]

Passo 5

Com os pivôs normalizados, faço combinações lineares para zerar todos os coeficientes acima deles, chegando à forma escalonada reduzida:
[ccccc|c 1 & 3 & 0 & 0 & tfrac815 & 1 0 & 0 & 1 & 0 & -tfrac715 & 2 0 & 0 & 0 & 1 & -tfrac115 & 3 ]

Passo 6

Da forma escalonada reduzida vemos que as variáveis livres são x2 e x5. Chamando x2 = s e x5 = t, temos:
x1 + 3s + tfrac815t = 1 implies x1 = 1 - 3s - tfrac815t,
x3 - tfrac715t = 2 implies x3 = 2 + tfrac715t,
x4 - tfrac115t = 3 implies x4 = 3 + tfrac115t

Passo 7

Pelo Teorema de Rouché-Capelli, o posto da matriz de coeficientes é 3 e o posto da matriz aumentada também é 3, logo o sistema é compatível com infinita soluções de dimensão 5-3=2.

Resposta

x1 = 1 - 3s - tfrac815t,; x2 = s,; x3 = 2 + tfrac715t,; x4 = 3 + tfrac115t,; x5 = t, com s,tinR

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