Resolva os sistemas reduzindo à forma escalonada reduzida e confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
lx1+x2+x3+x4=0 x1+x2+x3-x4=4 x1+x2-x3+x4=-4 x1-x2+x3+x4=2

Passo 1

Temos o sistema linear com quatro incógnitas e quatro equações. O conteúdo é resolução de sistemas por escalonamento até a forma escalonada reduzida e checagem de consistência pelo Teorema de Rouché-Capelli. Vamos montar a matriz aumentada e encontrar pivôs para resolver.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada:
[ cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & -1 & 4 1 & 1 & -1 & 1 & -4 1 & -1 & 1 & 1 & 2 ]

Passo 3

Eliminamos a coluna 1 abaixo de R1 usando R2←R2−R1, R3←R3−R1 e R4←R4−R1:
[ cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -2 & 4 0 & 0 & -2 & 0 & -4 0 & -2 & 0 & 0 & 2 ]

Passo 4

Para colocar pivô em (2,2), trocamos R2↔R4:
[ cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & -2 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & -2 & 0 & -4 0 & 0 & 0 & -2 & 4 ]

Passo 5

Normalizamos os pivôs multiplicando R2, R3 e R4 por -1/2:
[ cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 1 & -2 ]

Passo 6

Fazemos a retroeliminação para zerar acima dos pivôs na linha 1:
R1←R1−R2−R3−R4
[ cccc|c 1 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 1 & -2 ]

Passo 7

Pelo Teorema de Rouché-Capelli o posto da matriz de coeficientes é 4, igual ao posto da matriz aumentada e igual ao número de incógnitas. Logo o sistema é compatível determinado.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(1,-1,2,-2)

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